（状压dp）ACM-ICPC 2018 南京赛区网络预赛 E题.AC Challenge

最新推荐文章于 2019-08-19 22:31:39 发布

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本文探讨了一种使用状态压缩动态规划（DP）的方法，解决特定类型的问题顺序优化问题。在该问题中，需要在有限时间内解决一系列问题，每个问题的解决依赖于其前驱问题的完成情况，并且解决每个问题可以获得一定的分数。文章详细介绍了如何通过状态压缩表示问题状态，以及如何利用动态规划进行状态转移，以达到总分最大化的解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

传送门：E题.AC Challenge

题意：有 n 个问题（0<n≤20 ），解决一个问题花费 1 分钟，但解决问题 i 时，必须已经解决问题p1,p2, ... ,psi（记为问题 i 的前驱问题）。当问题 i 是你解决的第 t 个问题（在第 t 分钟）时，总分加上 ai*t+bi。求总分的最大值。

题解：考虑到n较小，可以采取状态压缩来表示问题的状态。例如，二进制数0100表示第3个已解决。

求总分的最大值，考虑状压dp来解决。dp[i]表示状态为i时的最高得分，则状态转移方程为 dp[i]=max(dp[i],dp[tmp]+(ll)(t+1)*a[j]+b[j]); //tmp=i-(1<<(j-1)); 问题j的上一个状态

预处理：把问题 x的前驱问题的状态存到pre[x]中。

状态转移条件：

1.i状态下第j个问题已解决；

2.定义tmp为前驱状态，与i相比，tmp中只相差一个j问题；

3.tmp状态下的前驱问题已解决，即tmp&pre[i]==pre[i]；

4.dp[tmp]处于合法状态。

从大到小，枚举所有状态。内部枚举每一个问题，满足条件的话，进行状态转移。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
#define MAXN (1<<20)+5
#define ll long long
ll pre[25],dp[MAXN],a[25],b[25];
int n,s,p;
int main()
{
    while(~scanf("%d",&n)){
        memset(pre,0,sizeof(pre));

        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%lld%lld%d",&a[i],&b[i],&s);
            while(s--){
                scanf("%d",&p);
                pre[i]+=1<<(p-1);
            }
        }

        dp[0]=0;
        int m=(1<<n)-1;
        ll ans=0;
        for(int i=1;i<=m;i++){
            dp[i]=-inf;  //初始化
            for(int j=1;j<=n;j++){
                if(i&(1<<(j-1))){
                    int tmp=i-(1<<(j-1));  //前驱状态
                    if(dp[tmp]==-inf) continue;  //前驱状态处于不合法状态
                    if((tmp&pre[j])==pre[j]){
                        int num=0;
                        for(int k=0;k<n;k++){
                            if(tmp&(1<<k)){
                                num++;  //前驱问题解决的时候所消耗的时间
                            }
                        }
                        dp[i]=max(dp[i],dp[tmp]+(ll)(num+1)*a[j]+b[j]);
                        //printf("dp[%d]=%d\n",i,dp[i]);
                        ans=max(ans,dp[i]);
                    }
                }
            }
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
	return 0;