【牛客】寒假训练营1 H-01背包，但是bit 题解

传送门：01背包，但是bit
标签：动态规划

题目大意

共有n件物品，每件物品有价值v_i与重量u_i两个属性。但特别地，所选物品的总重量并不是每件物品的重量和，而是所有所选物品的重量进行按位或运算的结果。请你计算，在所选物品总重量不超过m的情况下，所选物品的最大价值之和是多少(价值之和正常定义为所选物品价值的加和)。
输入：T组数据(1<=T<=1e4)，每组数据第一行两个正整数n,m(1<=n<=1e5,1<=m<=1e8)，分别代表物品总数和背包容量。接下来n行每行包括两个正整数vⁱ和uⁱ(1<=vⁱ,uⁱ<=1e8)，分别代表第i个物品的价值和重量。
输出：每组数据一个正整数，代表最大价值之和。

算法分析

• 首先我们看到数据范围m最大为1e8就知道肯定不能用普通的背包。先从简单的结论思考，假设所有物品的重量按位或运算的结果不超过m，那么我们一定全部都选；假设有某一个数大于m，那么无论它与谁进行或运算都不可能使结果小于等于m，所以一定不能选。这么一想我们就会发现，只要有一个筛选的标准，确定哪些物品能选哪些不能选，接下来只要贪心就行了。
• 如果我们要保证一些数按位或的结果（这里假设为x）不超过m，就只有两种可能。第一种可能是：二进制下x为1的位在m中都为1，即x|m=m。第二种可能：存在某一位在x中为1，在m中为0，但是存在比它更高的某一位在x中为0，在m中为1。显然第一种情况出现的概率比较小，第二种情况才是普遍情况，所以我们从它入手。
• 既然要确定某一位在x中为0，在m中为1，我们不妨直接枚举（设为第i位）。那么对于任意比i更高的位j，都要满足x_j<=m_j，只有这样才能保证最终或运算结果不大于m。对于满足条件的物品，我们自然是全部取。枚举m的每一位只需最多30次，而遍历所有物品只要n次。考虑到枚举时每次都往后推一位，我们可以一开始先定义一个变量x=2ⁿ-1，然后让其每次减去自己的lowbit，就能得到前i位为0，而后面所有位为1的数字。再让其与m和每个物品的u进行与运算就能更快判断出哪些物品是合法的。

代码实现

#include <iostream>
using namespace std;
long long v[100005],u[100005];
#define lowbit(x) (x)&(-x)
int main(){
	long long i,j,x,n,m,T,sum,mx;
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>T;
	while(T--){
		cin>>n>>m;
		mx=0LL;
		x=(1<<30)-1;
		for(i=1;i<=n;i++)
			cin>>v[i]>>u[i];
		for(i=0;i<=29;i++){
			x-=lowbit(x);
			if((m&(1<<i))==0)continue;
			sum=0LL;
			for(j=1;j<=n;j++)
				if(((u[j]&(1<<i))==0)&&(((m&x)|(u[j]&x))==(m&x)))
					sum+=v[j];
			mx=max(mx,sum);
		}
		sum=0LL;
		for(j=1;j<=n;j++)
			if((m|u[j])==m)
				sum+=v[j];
		mx=max(mx,sum);
		cout<<mx<<'\n';
	}
	return 0;
}