贪心之导弹拦截(NOIP2010)

本文介绍了一种计算两个导弹拦截系统拦截来袭导弹所需的最小代价的方法。通过将导弹按距离排序并采用贪心策略,逐步调整拦截方案以找到最优解。

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描述

经过11年的韬光养晦,某国研发出了一种新的导弹拦截系统,凡是与它的距离不超过其工作半径的导弹都能够被它成功拦截。当工作半径为0 时,则能够拦截与它位置恰好相同的导弹。但该导弹拦截系统也存在这样的缺陷:每套系统每天只能设定一次工作半径。而当天的使用代价,就是所有系统工作半径的平方和。
某天,雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统尚处于试验阶段,所以只有两套系统投入工作。如果现在的要求是拦截所有的导弹,请计算这一天的最小使用代价。


输入
第一行包含4 个整数x1、y1、x2、y2,每两个整数之间用一个空格隔开,表示这两套导
弹拦截系统的坐标分别为(x1, y1)、(x2, y2)。
第二行包含1 个整数N,表示有N 颗导弹。接下来N 行,每行两个整数x、y,中间用
一个空格隔开,表示一颗导弹的坐标(x, y)。不同导弹的坐标可能相同。
输出
输出只有一行,包含一个整数,即当天的最小使用代价。
样例输入
0 0 6 0
1
-4 -2
样例输出
20
提示
对于10%的数据,N = 1
对于20%的数据,1 ≤ N ≤ 2
对于40%的数据,1 ≤ N ≤ 100
对于70%的数据,1 ≤ N ≤ 1000
对于100%的数据,1 ≤ N ≤ 100000,且所有坐标分量的绝对值都不超过1000。


        解题思路

             使用贪心思想:选出所有导弹拦截方案中使用代价最小的方案。首要问题是找出所有的拦截方案。先选择第一套导弹拦截系统,将所有导弹按照导弹到第一套系统的距离r1从小到大进行排列。首先让第一套导弹拦截系统拦截所有的导弹,则导弹的半径应该等于所有导弹中到第一套系统的距离r1最大的(排序过后的最后一枚导弹的r1),计算此时的使用代价。然后从后往前依次减少(一次减少一枚导弹)第一套拦截系统拦截导弹的数量(注意:应该是从排序过后的最后一枚导弹倒序减少,才能使导弹拦截系统的使用代价达到最小),剩下的导弹使用第二套拦截系统拦截,所以第二套拦截系统的工作半径r2应该是剩下导弹中到第二套系统的距离r2最大值,计算此时的使用代价。最后就能找出最小的使用代价。

      程序

#include<algorithm>
#include<cstdio> 
#include<iostream>
using namespace std;
struct dd//导弹结构体
{
	int x,y,r1,r2;//导弹的横坐标,纵坐标,到第一套导弹拦截系统的距离的平方,到第二套导弹拦截系统的距离的平方
}c[100005];
int cmp1(dd a,dd b)
{
	return a.r1<b.r1;//按照导弹到第一套导弹拦截系统距离的平方从小到大排序
}
int main()
{
	int x1,y1,x2,y2,min,tmp,max=0,i,n;
	scanf("%d %d %d %d %d",&x1,&y1,&x2,&y2,&n);//输入第一套导弹拦截系统和第二套导弹拦截系统的坐标(x1,y1),(x2,y2),导弹的个数
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d %d",&c[i].x,&c[i].y);//输入导弹的坐标
		c[i].r1=(c[i].x-x1)*(c[i].x-x1)+(c[i].y-y1)*(c[i].y-y1);//分别计算到达两套导弹拦截系统距离的平方(两点间的距离坐标公式)
		c[i].r2=(c[i].x-x2)*(c[i].x-x2)+(c[i].y-y2)*(c[i].y-y2);
	}
	sort(c+1,c+1+n,cmp1);//排序
	min=c[n].r1;//最小值设为到第一套导弹拦截系统r1最大的值(也就是第一套导弹拦截系统拦截所有的导弹的使用代价)
	max=c[n].r2;//最大值设为最后一枚导弹的r2
	for(i=n;i>=1;i--)//从后往前依次减少(一次减少一枚导弹)第一套拦截系统拦截导弹的数量
	{
		if(c[i].r2>max)//找出未拦截导弹中距离r2的最大值max
			max=c[i].r2;
		tmp=c[i-1].r1+max;//计算此时的使用代价
		if(tmp<min)//找出所用使用代价中最小的方案
			min=tmp;
	}
	printf("%d",min);//输出最小代价
	return 0;
}

### C++ 实现拦截导弹问题 #### 解题思路 该问题可以通过贪心算法解决。核心思想是在每次选择中尽可能多地拦截导弹,从而减少所需的拦截系统数量。具体来说: - 对于第一个子问题(求最长下降子序列),可以采用动态规划的方法来寻找能够被一套系统拦截的最大导弹数。 - 对于第二个子问题(求最少需要几套系统才能完全拦截所有导弹),则通过不断构建新的拦截系统并分配无法被当前系统处理的导弹。 #### 动态规划求解最大可拦截数目 为了找到单个系统所能拦截最多的连续导弹数量,即求给定序列中的最长严格递减子序列长度。定义 `dp[i]` 表示以第 i 枚导弹结尾时可以获得的最大拦截数,则状态转移方程如下: \[ dp[i]=\max_{j<i \text{ and } h[j]>h[i]} (dp[j]+1), \quad \forall j=0,..,i-1 \] 其中 \( h[] \) 是表示每枚导弹的高度数组。初始条件设为每个位置至少能自己构成一个单独的拦截事件,因此初始化所有的 `dp[i]=1`. ```cpp #include <iostream> #include <vector> using namespace std; int main() { vector<int> heights; int n, temp; cin >> n; // 输入导弹总数 while(n--) { cin >> temp; heights.push_back(temp); } vector<int> dp(heights.size(), 1); // 初始化DP表,默认值都为1 int max_intercept = 1; for(int i = 1; i < heights.size(); ++i){ for(int j = 0; j < i; ++j){ if(heights[j] > heights[i]){ dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1); } } max_intercept = max(max_intercept, dp[i]); } cout << "Single system can intercept at most: " << max_intercept << endl; } ``` 此部分实现了如何利用动态规划方法找出单一系统最多能拦截多少枚导弹的功能[^1]. #### 计算所需最小系统数量 针对第二问——确定完成全部拦截任务所需要的最少系统数量,这里采取了一种较为直观的方式:每当遇到一颗新导弹不能被现有任何一个正在工作的系统所覆盖时就启动一个新的系统负责它及其后续符合条件的其他导弹。这样做的依据在于新增加的一颗导弹总是会形成一个新的局部最优解的一部分,而不会影响之前已经形成的更优的整体方案。 ```cpp // 继续上面的例子... set<int> active_systems; // 存储当前活跃系统的最高拦截高度 for(auto& height : heights){ auto it = active_systems.lower_bound(height); if(it != begin(active_systems)){ --it; *it = height; // 更新对应系统的最新拦截高度 }else{ active_systems.insert(height); // 启动新系统 } } cout << "Minimum systems required to intercept all missiles: " << active_systems.size() << endl; ``` 上述代码片段展示了怎样高效地追踪和管理多个独立运作但又相互协作的拦截系统的工作流程,最终输出满足题目要求的结果[^2].
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