湖南省第六届大学生计算机程序设计竞赛 战场的数目

战场的数目

 

在上题中，假设战场的图形周长为p，一共有多少种可能的战场？

例如，p<8时没有符合要求的战场，p=8时有2种战场：

p=10有9种战场：

要求输出方案总数模987654321的值。

Input

输入文件最多包含25组测试数据，每个数据仅包含一行，有一个整数p（1<=p<=109），表示战场的图形周长。p=0表示输入结束，你的程序不应当处理这一行。

Output

对于每组数据，输出仅一行，即满足条件的战场总数除以987654321的余数。

Sample Input

7

8

9

10

0

Sample Output

0

2

0

9

Hint

无

想法：

看了别人代码，思考许久。

战场的定义比较趋近于俄罗斯方块，及不能有悬空的块；每个块下面必须为底或者是另一个块，并且这些块不能构成一个矩形。
直接入手比较麻烦。
很显然的就是高就是最高的块所在的层数，宽也是最后一层的宽度。
分情况讨论一下，显然只有
p为偶数的时候才可能有答案，奇数一定无解。
1.如果左/右只有一边存在一个单独的块。
这样删掉这个块将会得到周长为p−2时的一种方案。
2.如果左/右都不存在单独一个块。
这样无法通过删单个块得到一种周长为p−2的方案，但是，可以通过去掉最后一层得到一种周长为p−2的方案。
3.如果左/右都存在一个单独的块。
这种方案，会在情况1中额外统计，所以要减去，而这样的方案数则对应是周长为p−4时的方案。
然后就可以得到递推式f(p) = 3*f(p - 2) - f(p - 4) （p>4)f[p]=2∗f[p−2]+f[p−2]−f[p−4]=3∗f[p−2]−f[p−4
然后这个显然是可以矩阵乘法优化的，不过这样会产生一些不必要的内存，所以我们把p=p/2然后就可以得到



f[p]=3∗f[p−1]−f[p−2]




这样得到的答案，是满足的情况，是包含正好组成矩形的情况的，所以我们在最后把它减去即可。
又易知P=4时，有1种，P=6时，有2种，P=8时，有5种
发现f【p】为第（p-4+1）个斐波拉契数
代码：
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=987654321;
ll A[2][2],B[2][2],T[2][2];
void pow(int n)//求第n+1个的斐波拉契数
{
    if(n==0)
    {
        //for(int i=0;i<2;i++)
            //for(int j=0;j<2;j++)
               // B[i][j]=(i==j);
        B[0][0]=1;B[0][1]=0;B[1][0]=0;B[1][1]=1;
        return;
    }


    if(n&1)
    {
        pow(n-1);
        for(int i=0;i<2;i++)
            for(int j=0;j<2;j++)
            {
                T[i][j]=0;
                    for(int k=0;k<2;k++)
                        T[i][j]=(T[i][j]+A[i][k]*B[k][j])%mod;
            }
       for(int i=0;i<2;i++)
            for(int j=0;j<2;j++)
            {
                B[i][j]=T[i][j];
            }


    }
    else
    {
        pow(n/2);
        for(int i=0;i<2;i++)
            for(int j=0;j<2;j++)
            {
                T[i][j]=0;
                for(int k=0;k<2;k++)
                    T[i][j]=(T[i][j]+B[i][k]*B[k][j])%mod;
            }
       for(int i=0;i<2;i++)
          for(int j=0;j<2;j++)
            {
                B[i][j]=T[i][j];
            }
    }
}
int main()
{
  int n;
  A[0][0]=1; A[0][1]=1;
  A[1][0]=1; A[1][1]=0;
  while (scanf("%d", &n)== 1 && n)
  {
    ll ans=0;
    if(n&1)
        ans=0;
    else if(n<4) ans=0;
    else
    {
        pow(n-4);//求出B【0】【0】为周长为n的个数
        ans=B[0][0]-(n/2-1);//减去矩形个数
        ans%=mod;
        if(ans<0) ans+=mod;
    }
    //printf("%lld\n",B[0][0]);
    printf("%lld\n",ans);
  }


  return 0;
}