【数据结构与算法】之01背包问题

背包问题

有一些物品，每种物品有各自的价值和代价，问给定代价之内选一些物品可以得到多少价值

01背包

有N件物品和一个最大重量为V的背包。第i件物品的重量是c[i], 价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可以使背包价值总和最大，每种物品最多只能选一次

动态规划：
时间复杂度: O(NV)
空间复杂度：O(V)

dp[i][j]表示只考虑前i件物品，恰好放入一个容量为j的背包可以获得的最大价值

状态转移方程(i从1到N循环, j从0到V循环)

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-c[i]] + w[i])

优化空间：不需要二维数组
状态转移方程(i从1到N循环, j从V到0循环)

dp[j] = max(dp[j], dp[j-c[i]] + w[i])

代码示例

let N, V
let dp = new Array(1001)
let c = new Array(100001)
let w = new Array(100001)
for (let i = 1; i <= N; i++) {
    for (j = V; j >= 0; j--) {
      if( j < c[i] ) break
      dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - c[i]] + w[i])
    }
}
console.log(dp[V])

2.运矿石

时间限制：C/C++ 3秒，其他语言6秒
空间限制：C/C++ 32M，其他语言64M
小v最近在玩一款挖矿的游戏，该游戏介绍如下：
1、每次可以挖到多个矿石，每个矿石的重量都不一样，挖矿结束后需要通过一款平衡矿车运送下山；
2、平衡矿车有左右2个车厢，中间只有1个车轮沿着导轨滑到山下，且矿车只有在2个车厢重量完全相等且矿石数量相差不超过1个的情况下才能成功运送矿石，否则在转弯时可能出现侧翻。
假设小v挖到了n（n<100）个矿石，每个矿石重量不超过100，为了确保一次性将n个矿石都运送出去，一旦矿车的车厢重量不一样就需要购买配重砝码。请问小v每次最少需要购买多少重量的砝码呢? （假设车厢足够放下这些矿石和砝码，砝码重量任选）

输入描述:
输入n个正整数表示每个矿石的重量

输出描述:
输出一个正整数表示最少需要购买的砝码重量

输入例子1:

3 7 4 11 8 10

输出例子1:

1

例子说明1:

小v可以将重量3,7和11的矿石放到左车厢，重量4，8和10 放到右车厢，然后购买重量为1的砝码放到左车厢

function solution(stones) {
    
  // 1.计算矿石总重量
  let totalWeight = 0;
  stones.forEach((value, index) => {
    // console.log(value, index)
    totalWeight += parseInt(value)
  });
  // console.log(totalWeight)
  let halfNum = Math.round(stones.length / 2)
  let halfWeight = Math.round(totalWeight / 2)
  let difference = 10000
  // 动态规划, dp[i][j]表示用i块矿石能否使用的重量为j
  // 定义二维数组 dp
  let dp = new Array(100)
  for (let i = 0; i < 100; i++) {
    dp[i] = new Array(10000)
  }
  // 0块矿石的重量0是可以的
  dp[0][0] = true
  // 定义重量
  let weight = 0
  // 第一层遍历数组
  // console.log(dp)
  // 第一层遍历数组
  for (let i = 0; i < stones.length; i++) {
    // 第二层遍历
    for (let j = totalWeight; j >= stones[i]; j--) {
      // 第三层遍历
      for (let k = stones.length; k >= 0; k--) {
        // 如果可以用k块矿石凑(j - stones[i])的重量
        if (dp[k][j - stones[i]]) {
          dp[k + 1][j] = true; // 选上第i块的矿石凑出重量j
          if (k + 1 == halfNum && Math.abs(j - halfWeight) < difference) {
            // 如果数量满足题意，则将重量更新为较小的那个
            difference = Math.abs(j - halfWeight)
            weight = j
          }
        }
      }
    }
  }
  return Math.abs(totalWeight - weight * 2)

}
line = readline()
var stones = line.split(" ");
print(solution(stones));