DAG-dp

最新推荐文章于 2024-04-27 10:22:43 发布

Saul Zhang

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分类专栏：算法刷题集文章标签： DAG dp

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DAG求单源最短距离

1.题目描述：

上图所示的图为有向无环图(DAG)，现在需要求解从结点 $s$ 出发到达结点 $t$ 的最短距离。

2.基本思路

由于该图为有向无环图因此其满足最优子结构的性质。定义函数 $f (i)$ ，该函数表示从原点出发到达结点 $i$ 的最短距离。因此我们可以得到以下的递推关系式:
$f(T)=min \{ f(C)+20,f(D)+10 \} \\ f(D)=min \{f(B)+20,f(A)+10,f(C)+5 \} \\ ...$

3.代码实现

该问题的求解思路为采用拓扑排序的方法，每次处理入度为0的结点 $i$ ，更新结点 $i$ 所能到达的结点的当前最短距离，然后更新过后的结点入度均减1，直到最后完成整个拓扑排序的过程，输出到达终点的距离。

在实现代码的时候需要维护好以下的信息：
与结点 $i$ 相邻的结点信息，结点之间的权重，从起始结点出发到达当前结点的最短距离。

#include <iostream>
#include <map>
#include <vector>
#include <queue>
#define N 101
using namespace std;


map<char,vector<char>> Near;//维护与每个结点相连的结点的信息
map<char,map<char,int>> TD;//记录两两结点之间的距离

map<char,int> Dis;//记录从起点到当前结点的距离
map<char,int> degree;//记录每个结点的入度
queue<char> Q;//存储入度为0的结点

int main()
{
    char c1,c2;
    int w=-1;

    while(cin>>c1>>c2>>w){
        if(w==0)break;//以边权为0做为输入的结束条件
        Near[c1].push_back(c2);
        TD[c1][c2]=w;
        degree[c2]+=1;
    }

    for(auto it=degree.begin();it!=degree.end();it++){
        if(it->second==0){
            Q.push(it->first);
        }
        Dis[it->first]=123123123;
    }
    Dis['s']=0;
    Q.push('s');//其实结点入队

    while(!Q.empty()){
        char tmp = Q.front();
        Q.pop();
        for(int i=0;i<Near[tmp].size();i++){
            Dis[Near[tmp][i]]=min(Dis[Near[tmp][i]],Dis[tmp]+TD[tmp][Near[tmp][i]]);
            degree[Near[tmp][i]]--;
            if(degree[Near[tmp][i]]==0)
                Q.push(Near[tmp][i]);
        }
    }

    cout<<"The minimum distance from s to t is:"<<Dis['t']<<endl;
    return 0;

}
/*
INPUT：
s a 10
s b 20
a c 30
a d 10
b d 20
c d 5
c t 20
d t 10
0 0 0

OUTPUT:
The minimum distance from s to t is:30
*/