经典题型

最新推荐文章于 2022-12-15 07:54:53 发布

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本文详细解析了六种常见的动态规划问题，包括01背包、完全背包、最大连续子序列之和、数塔问题、最长递增子序列及最长公共子序列等。通过具体的实例和代码实现展示了动态规划的基本思想和解决方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1.01背包问题

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]

#include "stdio.h"
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
int main(){
	int v = 10 ;  
	int n = 5 ;     
 	int value[] = {0, 8 , 10 , 4 , 5 , 5};     
	int weight[] = {0, 6 , 4 , 2 , 4 , 3};   
	int i,j;    
	int dp[n+1][v+1];
	for(i = 0; i < n+1; i++)
		for(j = 0; j < v+1; j++)
			dp[i][j] = 0;
	for(i = 1; i <= n; i++){
		for(j = 1; j <= v; j++){
			if(j >= weight[i])
				dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);
			else
				dp[i][j] = dp[i-1][j];
		}
	}
	printf("%d",dp[n][v]);
}

完全背包

问题描述：有一个容积为V的背包，同时有n种物品，每种物品均有无数多个，并且每种物品的都有自己的体积和价值。求使用该背包最多能够装的物品价值总和。// 具体问题：物品种数N=4,物品重量w[N+1]={0，2，3，4，7},物品价值V[N+1]={0，1，3，5，9},背包的最大容量为10.
总体思路：思路跟01背包差不多，分解问题，求分解问题的最优解，因为完全背包里面，每种物品是无限多的，所以每次更新数据的时候还是对这种物品进行装拿。

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;
#define N 4
#define M 10
int date[N+1][M+1],w[N+1]={0,2,3,4,7},v[N+1]={0,1,3,5,9};
void DP()
{
    int i,j;
    for (i=1;i<=N;i++)
    {
        for (j=1;j<=M;j++)
        {
            if (j>=w[i])
                date[i][j]=max(date[i-1][j],date[i][j-w[i]]+v[i]);
            else
                date[i][j]=date[i-1][j];
            printf("%4d",date[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
}
int main()
{
    memset(date,0,sizeof(date));
    DP();
    printf("%d\n",date[N][M]);
    return 0;
}

可改进为

for (i=1;i<=N;i++)
    for (j=w[i];j<=M;j++)
        date[j]=max(date[j],date[j-w[i]]+v[i]);

2.最大连续子序列之和

给定K个整数的序列{ N1, N2, ..., NK }，其任意连续子序列可表示为{ Ni, Ni+1, ..., Nj }，其中 1 <= i <= j <= K。最大连续子序列是所有连续子序中元素和最大的一个，例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其最大连续子序列为{ 11, -4, 13 }，最大和为20。

状态转移方程： sum[i]=max(sum[i-1]+a[i],a[i])

#include "stdio.h"
int main(){
	int i,sum = 0, max = 0;
	int data[] = {
		1,-2,3,-1,7
	};
	for(i = 0; i < sizeof(data)/sizeof(data[0]); i++){
		sum += data[i];
		if(sum > max)
			max = sum;
		if(sum < 0)
			sum = 0;		
	}
	printf("%d",max);
}

3.数塔问题

数塔问题：要求从顶层走到底层，若每一步只能走到相邻的结点，则经过的结点的数字之和最大是多少？

转移方程：sum[i] = max(a[左孩子] , a[右孩子]) + a[i]

#include "stdio.h"
#define N 5
int main(){
	int i,j;
	int data[N][N] = {
			{9,0,0,0,0},
			{12,15,0,0,0},
			{10,6,8,0,0},
			{2,18,9,5,0},
			{19,7,10,4,16}
		};
		for(i = N-1; i > 0; i--)
			for(j = 0; j < i; j++)
				data[i-1][j] += data[i][j] > data[i][j+1] ? data[i][j] : data[i][j+1];
		
		printf("%d",data[0][0]);
		
		
}

4.最长递增子序列(LIS)

给定一个序列 A_n = a₁ ,a₂ , ... , a_n ，找出最长的子序列使得对所有 i < j ，a_i < a_j 。

转移方程：b[k]=max(max(b[j]|a[j]<a[k],j<k)+1,1);

#include "stdio.h"
int main(){
	int i,j,length,max=0;
	int a[] = {
		1,-1,2,-3,4,-5,6,-7
	};
	int *b;
	b = (int *)malloc(sizeof(a));
	length = sizeof(a)/sizeof(a[0]);

	for(i = 0; i < length; i++){
		b[i] = 1;
		for(j = 0; j < i; j++){
			if(a[i] > a[j] && b[i] <= b[j]){
				b[i] = b[j] + 1;
			}
		}
	}
	for(i = 0; i < length; i++)
		if(b[i] > max)
			max = b[i];
	printf("%d",max);
}

5.最长公共子序列(LCS)

一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。

转移方程：

dp[i,j] = 0 i=0 || j=0

dp[i,j] = dp[i-1][j-1]+1 i>0,j>0, a[i] = b[j]

dp[i,j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]) i>0,j>0, a[i] != b[j]

#include "stdio.h"
#define M 8
#define N 6		
void printLSC(int i, int j,char *a, int status[][N]){
	if(i == 0 || j== 0)
		return;
	if(status[i][j] == 0){
		printLSC(i-1,j-1,a,status);
		printf("%c",a[i]);
	}else{
		if(status[i][j] == 1)
			printLSC(i-1,j,a,status);
		else
			printLSC(i,j-1,a,status);
	}
}
int main(){
	int i,j;
	char a[] = {' ','A','B','C','B','D','A','B'};
	char b[] = {' ','B','D','C','B','A'};
	int status[M][N]; //保存状态
	int dp[M][N];
	for(i = 0; i < M; i++)
		for(j = 0; j < N; j++){
			dp[i][j] = 0;
			status[i][j] = 0;
		}			
	for(i = 1; i < M; i++)
		for(j = 1; j < N; j++){
			if(a[i] == b[j]){
				dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
				status[i][j] = 0;
			}
			else if(dp[i][j-1] >= dp[i-1][j]){
				dp[i][j] = dp[i][j-1];
				status[i][j] = 2;
			}
			else{
				dp[i][j] = dp[i-1][j];
				status[i][j] = 1;
			}			
		}
	printf("最大长度：%d",dp[M-1][N-1]);
	printf("\n");
	printLSC(M-1,N-1,a,status);
	printf("\n");
}

6.找零钱问题

假设现在有1元、2元、5元的纸币很多张，现在需要20块钱，你能给多少种找钱方案，这就可以认为是完全背包问题，即背包容量为20，物品体积分别为1、2、5。

还有公司出题目：给定一个数m，将m拆成不同的自然数的和的形式有多少种方案，这就是典型的01背包问题，背包容量为m，物品件数为k，这里面的k是隐含条件，可以求出来，因为m最多由1+2+…+k得到，由此可以根据m求得物品件数的上限。

#include <iostream>
using namespace std;
const int M=1000;
const int N = 3;
int coint[N];
int count[M+1];//count[i]表示凑合数量为i所需最少的钱币数量,则count[i]=min{count[i-coint[j]]+1},其中0<=j<=N-1
int trace[M+1];//每个表示count[i]在取最小值时的选择，即上式中的j
int dp_count(int m)
{
	int i = 0;
	int j = 0;
	for(i=0;i<M+1;i++)
		count[i]=0xffff;
	count[0] = 0;
	for(i=0;i<=m;i++)
	{
		for(j=0;j<N;j++)
			if(coint[j]<= i && count[i-coint[j]]+1 < count[i])
			{
				count[i] = count[i-coint[j]]+1;
				trace[i] = coint[j];
			}
	}
	return count[m];
}
void print(int m)
{
	if(m==0)
		return;
	else
	{
		cout << trace[m] << "  ";
		print(m-trace[m]);
	}
}
int main()
{
	int i=0;
	for(i=0;i<N;i++)
		cin>>coint[i];
	int m;
	cin >> m;
	cout<<dp_count(m)<<endl;
	print(m);
}