2018中南校赛 C数论，离散化单调DP

Wells有一片神奇的花园，花园里有无数神石和一个神山。

每一天，Wells 可以喂神山一个神石，使得神山的高度变为原高度乘上神石的能力值，或者使得所有的神石能力值+1

第 0 天时，所有神石的能力值为 0，神山的高度为 1

Wells想知道神山最快的长成某一个高度值最少需要多少天

定义函数 F(x)是使得 神山 变成 x 的最少天数

定义函数 G(x,p):若 F(x)<=p 则 G(x,p)=1 否则 G(x,p)=0

为了让问题不那么无聊，Wells想让你计算以下结果

现在让你求∑G(x,p) 其中 l<=x<=r

Input

第一行包含三个正整数 l,r,p l,r<=109,p<=100

Output

一个整数，∑G(x,p) 其中 l<=x<=r

Sample Input

2 10 3

Sample Output

1

Hint

显然只有 2 才能

题目链接：http://acm.csu.edu.cn/csuoj/problemset/problem?pid=2081

题解：注意是刚好长到x的最小天数，不能超过x。通过暴力搜索，我们发现能够在100天内长到的高度有4e6个左右，把这4e6个离散，离散后是3e6左右个，所以我们应该想办法找到可以长到的高度，然后判断是否在[L,R]区间里，具体的：结果等于加法次数+乘法次数，加法次数等于最大发因子，乘法次数可以用背包求解最优。（充分利用单调性）

 （代码做了注释，理解起来不难。）

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <set>
#include <assert.h>
#include <iostream>

using namespace std;

vector<int> prime;
int sz, p;
int L,R;
bool isp(int n)
{
    for(int i = 2;i * i <= n;i ++) if(n % i == 0) return 0;
    return 1;
}
void init()
{
    for(int i = 2;i <= 100;i ++) if(isp(i)) prime.push_back(i);
    sz = (int)prime.size();
}

vector<int> v;

void dfs(int now, int x)
{
    if(now >= sz) {
        v.push_back(x);
        return ;
    }
    for(;;) {
        dfs(now + 1, x);
        if(x > R / prime[now]) break;
        x *= prime[now];
    }
}

int main()
{
    init();
    scanf("%d %d %d", &L, &R, &p);
    dfs(0, 1);
    sort(v.begin(), v.end());
    int vsz = (int)v.size();
//    printf("%d\n", (int)v.size());
    vector<int> ck(vsz+1, 0), dp(vsz+1, 0x3f3f3f3f);
    dp[0] = 0;
    for(int i = 2;i <= p; ++ i) { //枚举最大神石的能量
        int l = 0;
        for(int j = 0;j < vsz; ++ j) {
            while(l < vsz && v[l] < i * v[j])  ++l;//dfs的时候保证了v[j]和v[j]*i都存在,所以找到的v[l]一定是第一个等于v[j]*i的数
            if(l < vsz) {
                assert(v[l] == i * v[j]);
                dp[l] = min(dp[l], dp[j] + 1); //dp[l]是乘法的次数 i是最大的因子即增加神石的能量
                if(dp[l] + i <= p) ck[l] = 1;
            }
        }
    }
    int res = 0;
    for(int i = 0;i < vsz;i ++) {
        if(v[i] >= L && v[i] <= R && ck[i]) ++ res;
    }
    printf("%d\n", res);
    return 0;
}