4815: [Cqoi2017]小Q的表格

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分块

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探讨了针对n*n数表的高效更新与求和算法，通过数学推导简化复杂度，利用分块技巧实现O(mlogn)的时间效率。算法核心在于找到gcd(i,j)相同的数对，通过预处理和分块求和策略，快速响应数表的修改及求和需求。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：

对于n*n的数表，任意一个位置，需要满足：
$f (a, b) = f (b, a)$

$b \times f (a, a + b) = (a + b) * f (a, b)$
每次修改一个位置，需要将相关位置全部修改且求前k行前k列的和。

题解：

将二式变化可得：
$f(a,a+b)a(a+b)=f(a,b)ab\frac{f(a,a+b)}{a(a+b)}=\frac{f(a,b)}{ab}$
所以
$modb)=f(d,d)d2\frac{f(a,b)}{ab}=\frac{f(a,a-b)}{a(a-b)}=\frac{f(a,a\ modb)}{a(a\ modb)}=\frac{f(d,d)}{d^2}$
其中 $d = g c d (a, b)$
所以所有 $g c d (i, j) = g c d (a, b)$ 的位置都会受影响。
枚举 $d$
$ans=∑dnf(d)∑i⌊nd⌋∑j⌊nd⌋[gcd(i,j)==1]ijans=\sum_d^nf(d)\sum_i^{\lfloor \frac n d \rfloor}\sum_j^{\lfloor \frac n d \rfloor}[gcd(i,j)==1]ij$
设 $s(n)=∑in∑jn[gcd(i,j)==1]ijs(n)=\sum_i^n\sum_j^{n}[gcd(i,j)==1]ij$
根据 $∑in[(i,n)==1]i=ϕ(i)2∗n\sum_i^n[(i,n)==1]i=\frac{\phi(i)}{2}*n$
可得：
$s(n)=∑ini2ϕ(i)s(n)=\sum_i^n i^2\phi(i)$
$ans=∑dnf(d)s(⌊nd⌋)ans=\sum_d^nf(d)s(\lfloor \frac n d \rfloor)$
分块即可。
但还有一个问题， $f$ 是待修改的，假如树状数组求和过不去。
所以用普通分块。 $O (m l o g n)$
code：

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define LL long long
using namespace std;
const LL mod=1e9+7;
int m,n,L[2010],R[2010],cur[4000010];
int phi[4000010],pr=0,prime[4000010],h[4000010],f[4000010],sum[4000010];
int s[4000010],S[2010];
bool v[4000010];
void pre()
{
	memset(v,true,sizeof(v));
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=4000000;i++)
	{
		if(v[i]) prime[++pr]=i,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;j<=pr&&prime[j]*i<=4000000;j++)
		{
			int s=prime[j]*i;v[s]=false;
			if(i%prime[j]==0) {phi[s]=phi[i]*prime[j];break;}
			phi[s]=phi[i]*(prime[j]-1);
		}
	}
	for(int i=1;i<=4000000;i++) h[i]=(h[i-1]+(LL)i*i%mod*phi[i]%mod)%mod;
	for(int i=1;i<=4000000;i++) f[i]=(LL)i*i%mod,sum[i]=(sum[i-1]+f[i])%mod;
}
void change(int k,int c)
{
	for(int i=k;i<=R[cur[k]];i++) (s[i]+=c)%=mod;
	for(int i=cur[k];i<=cur[n];i++) (S[i]+=c)%=mod;
}
int gcd(int a,int b) {return a==0?b:gcd(b%a,a);}
int get(int k) {return (s[k]+S[cur[k]-1])%mod;}
int main()
{
	pre();
	scanf("%d %d",&m,&n);
	int len=sqrt(n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cur[i]=(i/len)+1;
		if(cur[i]!=cur[i-1]) L[cur[i]]=i,R[cur[i-1]]=i-1;
	}
	R[cur[n]]=n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		s[i]=s[i-1];
		if(L[cur[i]]==i) s[i]=0,S[cur[i]]=S[cur[i]-1];
		s[i]=(s[i]+f[i])%mod;(S[cur[i]]+=f[i])%=mod;
	}
	while(m--)
	{
		int a,b,k;LL x;scanf("%d %d %lld %d",&a,&b,&x,&k);
		int d=gcd(a,b);a/=d;b/=d;
		x=x/a/b;x%=mod;change(d,-f[d]);f[d]=(int)x;change(d,f[d]);
		int i=1,j=0,ans=0;
		while(i<=k)
		{
			j=k/(k/i);
			ans=(ans+(LL)h[k/i]*(get(j)-get(i-1))%mod)%mod;
			i=j+1;
		}
		printf("%d\n",(ans+mod)%mod);
	}
}