3309: DZY Loves Math

全程%popoqqq：题解
orz：求g[i]函数（太神了）
现在我们只需要知道Σ[d|T]f(d)μ(T/d)的前缀和就行了 设这个函数为g(x)
观察这个函数 由于含平方因子数的μ值都为零，因此我们只考虑μ(T/d)!=0的数
令T=p1^a1*p2^a2*…pk^ak，d=p1^b1*p2^b2…*pk^bk
那么0<=(ai-bi)<=1
如果存在ai≠aj(i≠j)，那么我们可以将所有的a分为两部分：最大的a的集合A和非最大a的集合B
很显然f值由A中的选取方案决定
对于A中的每种选取方案，μ值决定于总选择的数量的奇偶性
在集合B中选取奇数个元素和偶数个元素的方案数是相等的，故对于A中的每种选取方案，得到的和都是0
故如果存在ai≠aj(i≠j)，则g(T)=0
反之，如果所有的a值都相等，我们假设对于任意选取方案，f值都不变
那么由于选取奇数个元素和偶数个元素的方案数相等，和仍然为0
但是有一种选取方案的f值=a-1 因此我们要将这个1减掉
考虑到μ的符号之后，最终结果为(-1)^(k+1)
故如果不存在ai≠aj，则g(T)=(-1)^(k+1)
不知道说明白了没有。。。
求出g函数的方法是线性筛 对于每个值记录g值和最小质因数的次数 具体细节见代码
别忘了开long long

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还有一点小东西：集合B中选取奇数个元素和偶数个元素的方案数是相等的，我YY的证明
code：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define M 10001000
using namespace std;
int a[10000010],b[10000010],g[10000010],prime[1000010],tot;
bool v[10000010];
void pre()
{
    int i,j;
    for(i=2;i<=10000000;i++)
    {
        if(!v[i]) prime[++tot]=i,a[i]=1,b[i]=i,g[i]=1;
        for(j=1;prime[j]*i<10000000;j++)
        {
            v[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                a[prime[j]*i]=a[i]+1;
                b[prime[j]*i]=b[i]*prime[j];
                int tmp=i/b[i];
                if(tmp==1) g[prime[j]*i]=1;
                else g[prime[j]*i]=(a[tmp]==a[prime[j]*i]?-g[tmp]:0);
                break;
            }
            a[prime[j]*i]=1;b[prime[j]*i]=prime[j];
            g[prime[j]*i]=(a[i]==1?-g[i]:0);
        }
    }
    for(i=1;i<=10000000;i++)
        g[i]+=g[i-1];
}
LL solve(int n,int m)
{
    int i,pos;LL ans=0;
    if(n>m) swap(n,m);
    for(i=1;i<=n;i=pos+1)
    {
        pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
        ans+=(LL)(n/i)*(m/i)*(g[pos]-g[i-1]);
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int T,n,m;scanf("%d",&T);
    pre();
    while(T--)
    {
        scanf("%d %d",&n,&m);
        printf("%lld\n",solve(n,m));
    }
}