树状数组理解和POJ2155二维树状数组参考算法理解

读者要求:知道什么是树状数组，不知道可以先看一下百度百科，然后再来阅读本文，传送门:

https://baike.baidu.com/item/%E6%A0%91%E7%8A%B6%E6%95%B0%E7%BB%84/313739?fr=aladdin

首先谈一下个人对于一维树状数组的理解:

    

       首先树状数组是为了解决频繁的读取前k项的数组和而且数组内容动态改变的问题而提出的（个人认为），这里强调一下数组内容动态改变。假如数组的内容是静态的，那么只需要一个数组D，第K个元素的内容就是数组A前K个元素的和就可以了。但是考虑到数组内容的动态改变，假设改变数组A第K个元素，那么对应的上面的D数组K后面的元素便都要更新，比较费时。可以考虑改变D数组的内容编码，这样就可以减少当A数组元素更新时需要更新的D数组的元素个数。比如按照上面的树状数组编码方式，C数组，当改变A6时，只需要更新C6和C8两个元素，而D数组要更新D6,D7,D8,D9四个元素。虽然求和时需要更多的C数组的元素表示，比如求前6项的和，按照D数组，只需要D6就可以，但是按照C树状数组，需要C6+C4。但是对于频繁改变内容的数组还是树状数组比较好

        下面讲一下对于s[x]=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[k];为什么可以使用如下代码计算：

s[x]=0;
for(int =x;i>0;i-=lowbit(i))s[x]+=c[i];

上面c[k]=a[k-lowbit(k)+1]+...+a[k]，lowbit(k)=k&(-k)就是整数k的二进制表示中右边第一个1所代表的数字（不知道请百度）

首先从目的出发，我们是要求前x项的和，为了方便理解，我就求前6项的和：s[6]。我们可以把6写成二进制来观察，即110,

110有什么特殊的含义呢？对！他可以分成1*2^4+1*2^1（哈哈），现在求和就变成了两个部分，之所以是两个部分是因为二进制里面有2个1(可以这样理解):(A1+A2+A3+A4)+(A5+A6)，我们称前一部为X，后一部分为Y,现在的问题是如何理解这两个部分，这两个部分和C数组有什么关系。对于X部分或者Y部分，我们描述他们需要2个参数，一个是最右边的元素的下标，就是X部分里面的A4和Y部分里面的A6，然后就是每一个部分的长度,就是X的4个长度和Y的2个长度，机智的读者已经发现其实Y部分的和就是C[6]，X部分的和即使C[4]，换句话说假如我们求和s[x]，他可以分成若干C的和，具体的C的元素确定可以通过对x写成二进制，然后观察里面的1，1的个数代表了和被分成几部分，也就是C的个数，然后我们可以从最后一个元素即Ax开始推，就举上面的例子，首先从A6开始，第一部分和是C6，他的长度是0010，就是2，这个就是6二进制右边第一位1的数值，可以通过lowbit计算，之所以需要知道C6跨越的长度是为了知道下一个C是多少，6-2=4，所以下一个开始的起点是A4，和是C4，这一个步进就是i-=lowbit(i)了，现在上面的代码应该很清楚了吧（我认为是）。

     下面讲一下具体的一个元素，他的父节点下标的计算或者遍历吧，下面是代码:

for(int i=k;i<n;i+=lowbit(i))

首先通过上面的介绍，对于C[k]可以理解为一个区间，就是（A[k-lowbit(k)+1,A[k]],比如C[6]=(A[5],A[6]]（注意左端点取不到）现在的问题就是包含Ax的区间有哪些，也即是C有哪些，或者讲父亲元素有哪些。考虑x的二进制举个例子进行讲解吧，求A6的父元素的下标，6的二进制0110，显然比6小的C是不可能包含A6的，那么现在观察大于6的二进制数，我们这样考虑，分成2部分，一部分是6第一个1的右边部分，即0110和左边0110。我们先保证左边部分不变，对右边部分的部分0变成1，显然只要右边部分有一个1，对应的那个C的下界是0110，而且取不到，故在右边部分是不可以有1的，就是说0111是不行的，那么下一个数字就是1000了，显然C8是OK的，从图中可以看出，是第一个父元素，上面的结论规范下就是对于一个x,写成二进制，比如1000010000，对于第一个右边的1右边不能出现1，就是1000010001到1000011111都是不行的，至少加10000，得到1000100000，这个C是可以的，下面推下一个C，对于1000100001到1000111111也是不包含1000010000的，至少要加100000，才可以，就这样递推下去就可以求完所有包含Ax的C了，这就是为什么每次步进i+=lowbit(i)的原因了。

现在讲一下POJ 2155的题目了，楼教主出的题目，传送门:

http://poj.org/problem?id=2155

 代码如下:

int N;
int tree[1005][1005]//01矩阵
void Getsum(int x,int y)//对子矩阵（1，1）-（x,y）进行置反
{
   for(int i=x;i>0;i-=(i&-i))
       {
           for(int j=y;j>0;j-=(j&-j))
              {
                  tree[i][j]^=1;
              }
       } 
} 
int Update(int x,int y)//计算和返回(x,y)的值
{
   int s=0;
   for(int i=x;i<=N;i+=(i&-i))
    {
       for(int j=y;j<=N;j+=(j&0j))
          {
             s+=tree[i][j];
          }
    }
     if(s%2==0)return 0;
     else return 1;
}

这里我只写了关键的两个函数，分别是进行置换的函数Getsum()和求(x,y)值的函数Update(),由于这种解法是使用二维树状矩阵的，我就解释一下上面两个函数，这里的tree矩阵不是原来的01矩阵，也就是说不是题目上的01矩阵，而是题目上的树状矩阵，比如上面文中的原来数组A，C数组是A上的树状数组一样，里面的元素是对应A数组里面的元素的和，这里的tree矩阵就是二维树状矩阵，他同样管理着一块区域，这里管理可以这样理解。比如一维树状数组里面的C6是A6和A5的和，可以理解为C6管理A6到A5这一块区域，同样tree[x][y]也是管理以前区域，其中x为[x-lowbit(x)+1,x],y为[y-lowbit(y)+1,y]，下面举个例子，考虑3*3的矩阵

sum[3][3]=tree[3][3]+tree[3][2]+tree[2][3]+tree[2][2],注意这里其实不是加，加号只是表示一下tree[3][3]的区域由右边的4块区域组成，蓝色是tree[3][3],黄色是tree[3][2],红色是tree[2][3],紫色是tree[2][2],所以反置3*3内的矩阵就是分别反置上面四块区域的矩阵，即更新tree[3][3],tree[2][3],tree[3][2],和tree[2][2]即可，这就是上面Getsum函数的意思。现在求(x,y)出的值，只需要考虑包含(x,y),的区域反置次数的总和是奇还是偶就可以了，这句话可以这样理解，首先(x,y)有可能位于多个tree包含的面积下，而反置操作只记录在tree里面，1表示反置了奇数次，0相当于没有反置，假设包含(x,y)的tree有n1,n2,n3，n1是1，n2是1,n3是0，就是说一共对(x,y)反了2次所以(x,y)还是0，奇数就是1。这个就是Update()函数的工作，他就是求(x,y)的父节点，原理其实和上面的一维树状数组一样，而Getsum反置和一维的求前k个元素的和是一样的，当然这里的tree里面的值不再是和，而是反置的次数，奇数次是1，偶数次是0。讲完了！！！！