数据结构入门3—莫队算法

分治一类的算法大多只能在离线时使用。莫队算法就是只能在离线下用。

先看一道模板题：小Z的袜子

Description

作为一个生活散漫的人，小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天，小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程，于是他决定听天由命……
具体来说，小Z把这N只袜子从1到N编号，然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双，甚至不在意两只袜子是否一左一右，他却很在意袜子的颜色，毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
你的任务便是告诉小Z，他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然，小Z希望这个概率尽量高，所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。

Input

输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量，M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci，其中Ci表示第i只袜子的颜色，相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行，每行两个正整数L，R表示一个询问。

Output

包含M行，对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1，否则输出的A/B必须为最简分数。（详见样例）

我们发现假如用ans1[i]、ans2[i] 表示第i个询问选到相同袜子的方案数和总方案数，如果知道区间 [l,r]的每个颜色袜子的数量和答案，那么转移到 [l,r+1] , [l,r-1] , [l-1,r] , [l+1,r] 是O（1）的，所以就可以把所有询问区间排一个序，然后直接暴力转移。

莫队算法针对这个排序问题。

就是把每个询问 [l,r] 看做二维平面上的点（l,r），然后转移的复杂度就是曼哈顿距离，如何让曼哈顿距离和比较短？分块。

分块后按照S形排序，然后就没有然后了。

//Serene
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=5e4+10;
long long n,m,size,ans1[maxn],ans2[maxn],c[maxn];
long long tot[maxn],ans,l,r;

long long aa;char cc;
long long read() {
	aa=0;cc=getchar();
	while(cc<'0'||cc>'9') cc=getchar();
	while(cc>='0'&&cc<='9') aa=aa*10+cc-'0',cc=getchar();
	return aa;
}

struct Node{
	long long l,r,pos;
}node[maxn];

bool cmp(const Node& a,const Node& b) {
	if(a.l/size!=b.l/size) return a.l/size<b.l/size;
	if((a.l/size)&1) return a.r/size<b.r/size;
	return a.r/size>b.r/size;
}

long long gcd(long long x,long long y) {
	return y==0? x:gcd(y,x%y);
}

int main() {
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=n;++i) c[i]=read();
	for(int i=1;i<=m;++i) {
		node[i].pos=i;
		node[i].l=read();node[i].r=read();
		ans2[i]=(node[i].r-node[i].l+1)*(node[i].r-node[i].l)/2;
	}
	size=sqrt(n);
	sort(node+1,node+m+1,cmp);
	l=node[1].l;r=node[1].r;
	for(int i=l;i<=r;++i) {
		ans+=tot[c[i]];
		tot[c[i]]++;
	}
	ans1[node[1].pos]=ans;
	for(int i=2;i<=n;++i) {
		while(l>node[i].l) {
			l--;
			ans+=tot[c[l]];
			tot[c[l]]++;
		}
		while(r<node[i].r) {
			r++;
			ans+=tot[c[r]];
			tot[c[r]]++;
		}
		while(l<node[i].l) {
			tot[c[l]]--;
			ans-=tot[c[l]];
			l++;
		}
		while(r>node[i].r) {
			tot[c[r]]--;
			ans-=tot[c[r]];
			r--;
		}
		ans1[node[i].pos]=ans;
	}
	int x;
	for(int i=1;i<=m;++i) {
		if(ans1[i]==0||ans2[i]==0) {
			printf("0/1\n");continue;
		}
		x=gcd(ans1[i],ans2[i]);
		printf("%lld/%lld\n",ans1[i]/x,ans2[i]/x);
	}
	return 0;
}