数据结构与算法(七)二叉树的特点和性质

二叉树，顾名思义就是每个结点有两个分支（分叉、子树），所以叫二叉树。

二叉树是树形结构里面最重要的一种结构，平衡查找树、红黑树、哈夫曼树等都是二叉树的子类结构。

1、二叉树的特点

• 二叉树的每个结点最多有两个分支、有两棵子树，没有子树或有一个子树也是可以的，所以二叉树中不存在度大于2的结点。
• 二叉树是有序树，左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。就像人是双手、双脚，但显然左手、左脚和右手、右脚是不一样的。
• 因为二叉树是有序树，所以即使树中某结点只有一个子树，也要区分它是左子树还是右子树。

二叉树具有五种基本形态：

1. 空二叉树
2. 只有一个根节点
3. 根节点只有左子树
4. 根结点只有右子树
5. 根结点既有左子树又有右子树

2、特殊的二叉树

2.1、斜树

所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树如上图树2。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树如上图树5。这两者统称为斜树。

斜树有一个很明显的特点，就是每一层都只有一个结点，结点个数与二叉树的深度相同。

2.2、满二叉树

满二叉树又称为完美二叉树：在一棵二叉树中，如果所有分支结点（非叶子结点）都拥有左子树和右子树，并且所有叶子结点都
同一层上，这样的二叉树就是一颗完美二叉树。从样子上看就感觉很完美。

单是每个结点都存在左、右子树，不能算是完美二叉树，还必须要所有的叶子都在同一层上，这就做到了整棵树的平衡。

因此，完美二叉树的特点：

1. 叶子结点只能出现在最下一层。出现在其他层就不可能达成平衡。
2. 非叶子结点的度一定是2。否则就是"缺胳膊少腿" 了。
3. 在同样深度的二叉树中，完美二叉树的结点个数最多，叶子数最多

2.3、完全二叉树

这是一种有些难以理解的特殊二叉树。

对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为 i(1≤i≤n) 的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。

个人解释：在最底层，所有叶子结点都是左对齐的，而忽视最底层，其他层是满二叉树。

首先从字面上要区分，“完全”和“满”的差异，满二叉树一定是一棵完全二叉树，但完全二叉树不一定是满二叉树。

完全二叉树的特点：

1. 叶子结点只能出现在最下面两层。
2. 最下层的叶子一定集中在左部连续位置。
3. 倒数第二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置。
4. 如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即不存在只有右子树的情况。
5. 同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小。 

3、二叉树的性质

性质1：在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点 (i≥1)。

第一层是根结点，只有一个 ，所以2^(1-1)=2^0=1。

第二层有两个，2^(2-1)=2^1=2。

第三层有四个，2^(3-1)=2^2=4。

第四层有八个，2^(4-1)=2^3=8。

性质 2: 深度为k的完全二叉树至少有2^(k-1)个结点 (k≥1)。

这里是2的(k-1)次方，不是2的k次方再减1。

因为是最少，所以在第k层只能有一个结点。

如果有一层，至多有1=2^(1-1)个结点。

如果有而层，至多有1+1=2=2^(2-1)个结点

如果有三层，至多有1+2+1=4=2^(3-1)个结点。

如果有四层，至多有1+2+4+1=8=2^(4-1)个结点。

性质 3: 深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点 (k≥1)。

这里是2的k次方再减1，不是2的(k-1)次方。

因为是最多，所以在第k层铺满结点。

如果有一层，至多有1=2^1-1 个结点。

如果有而层，至多有1+2=3=2^2-1个结点

如果有三层，至多有1+2+4=7=2^3-1个结点。

如果有四层，至多有1+2+4+8=15=2^4-1个结点。

性质 4: 对任何二叉树，如果其数度为0的结点数（叶子结点）为n0，度为1的结点数为n1，度为2的结点数为n2，那么n0=n2+1。

依据上图进行推导，数出结点总数为10，其中n0=5，n1=1，n2=4，所以结点总数=n0+n1+n2。

数出来连线数为9，其中度为1的结点会连出来一条线，度为2的结点会连出来两条线，所以连线数=n1*1+n2*2。

因为根节点是只有连出去的线，没有连进来的线，所以连线数要比结点总数少一，得到结点总数-1=n0+n1+n2-1=n1*1+n2*2=连线数。化简得到n0=n2+1或n0-1=n2.

性质 5：具有n个结点的完全二叉树的深度k为㏒₂n+1的整数值，而满二叉树的深度k=㏒₂(n+1)。

结合性质 2和性质 3，可以知道深度为k的二叉树拥有的结点数n的取值范围为[2^(k-1)，2^k-1]。

此时我们知道n反推k，已知2^(k-1)≤n≤2^k-1，其中n≤2^k-1我们不能要，可以转为n＜2^k，得到2^(k-1)≤n＜2^k，将不等式的两边取对数，得到k-1≤㏒₂n＜k，其中㏒₂n＜k可以不要，得出结论：k≤㏒₂n+1，因为k为整数，所以k对㏒₂n+1的结果取最大整数即可。

例如上图的完全二叉树的结点数为10，㏒₂10+1≈4。 上图的满二叉树的结点数为15，k=㏒₂(15+1)=4。

性质 6：如果对一棵有n个结点的完全二叉树(其深度为k)的结点按层序编号(从第1层到第k层，每层从左到右) ，对任一结点i(1≤i≤n)有：

1. 如果 i=1 ，则该结点是二叉树的根，无双亲;如果i>1，则则结点i的双亲是结点[i/2]。
2. 如果 2i>n，则结点i无左孩子(该结点为叶子结点)；否则其左孩子是结点[2i]。
3. 如果 2i+1>n ，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点[2i+1]。

这个性质也非常好理解，根据结点编号，不管双亲还是孩子都是2倍的关系，只要不超过结点数n那么就存在。