今天把后缀数组给看了下，评价就一句话：很好，很强大
懒得写废话，直接把相关重点简单记录一下：后缀数组就是将字符串所有后缀排序后的数组，设字符串为S，令后缀Suffix(i)表示S[i..len(S)]。用两个数组记录所有后缀的排序结果：
- Rank[i]记录Suffix(i)排序后的序号，即Suffix[i]在所有后缀中是第Rank[i]小的后缀
- SA[i]记录第i位后缀的首字母位置，即Suffix[SA[i]]在所有后缀中是第i小的后缀
然后就是怎么快速求所有后缀的顺序了，其中的关键是如何减少两个后缀比较的复杂度
方法是倍增法，定义一个字符串的k-前缀为该字符串的前k个字符组成的串，关于在k-后缀上的定义Suffix(k,i)、SA[k,i]和Rank[k,i]类似于前，则有
- 若Rank[k,i]＝Rank[k,j]且Rank[k,i+k]＝Rank[k,j+k]，则Suffix[2k,i]＝Suffix[2k,j]
- 若Rank[k,i]＝Rank[k,j]且Rank[k,i+k]<Rank[k,j+k]，则Suffix[2k,i]<Suffix[2k,j]
- 若Rank[k,i]<Rank[k,j]，则Suffix[2k,i]<Suffix[2k,j]
这样就能在常数时间内比较Suffix(2^k, i)之间的大小，从而对Suffix(2^k,i)时行排序，最后当2^k>n时，Suffix(2^k, i)之间的大小即为所有后缀之间的大小
于是求出了所有后缀的排序，有什么用呢？主要是用于求它们之间的最长公共前缀（Longest Common Prefix，LCP）
令LCP(i,j)为第i小的后缀和第j小的后缀（也就是Suffix(SA[i])和Suffix(SA[j])）的最长公共前缀的长度，则有如下两个性质：
- 对任意i<=k<=j，有LCP(i,j) = min(LCP(i,k),LCP(k,j))
- LCP(i,j)=min(i<k<=j)(LCP(k-1,k))
第一个性质是显然的，它的意义在于可以用来证明第二个性质。第二个性质的意义在于提供了一个将LCP问题转换为RMQ问题的方法：
令height[i]＝LCP(i-1,i)，即height[i]代表第i小的后缀与第i-1小的后缀的LCP，则求LCP(i,j)就等于求height[i+1]~height[j]之间的RMQ，套用RMQ算法就可以了，复杂度是预处理O(nlogn)，查询O(1)
然后height的求法要用到另一个数组：令h[i]=height[SA[i]]，即h[i]表示Suffix(i)的height值（同时height[i]就表示Suffix(SA[i])的height值），则有height[i]=h[Rank[i]]
然后h[i]有个性质：
用这个性质我们在计算h[i]的时候进行后缀比较时只需从第h[i-1]位起比较，从而总的比较的复杂度是O(n)，也就是说h数组在O(n)的时间内解决了。h解决了height也解决了，从而整个LCP问题就解决了^_^
然后后缀数组的应用就是利用它的LCP在需要字符串比较时降低复杂度。同时由于后缀数组的有序性可以很方便地使用二分
于是总结一下要点：
- 利用倍增算法在O(nlogn)的时间内对后缀数组进行排序
- 利用h数组的性质在O(n)的时间内求出排序后相邻后缀间的LCP数组height
- 利用LCP的性质将平凡LCP问题转化为height数组上的RMQ问题
首先是求后缀数组：
- int cmp(int *r,int a,int b,int l)
- {
- return r[a]==r[b] && r[a+l]==r[b+l];
- }
- void da(char *s,int *sa,int n,int m)
- {
- int *x=wa,*y=wb,*t;
- int i,j,p;
- for (i=0;i<m;i++) w[i]=0;
- for (i=0;i<n;i++) w[x[i]=s[i]]++;
- for (i=1;i<m;i++) w[i]+=w[i-1];
- for (i=n-1;i>=0;i--) sa[--w[x[i]]]=i;
- for (j=1,p=1;p<n;j*=2,m=p)
- {
- for (p=0,i=n-j;i<n;i++) y[p++]=i;
- for (i=0;i<n;i++) if (sa[i]>=j) y[p++]=sa[i]-j;
- for (i=0;i<n;i++) v[i]=x[y[i]];
- for (i=0;i<m;i++) w[i]=0;
- for (i=0;i<n;i++) w[v[i]]++;
- for (i=1;i<m;i++) w[i]+=w[i-1];
- for (i=n-1;i>=0;i--) sa[--w[v[i]]]=y[i];
- for (t=x,x=y,y=t,p=1,x[sa[0]]=0,i=1;i<n;i++)
- x[sa[i]]=cmp(y,sa[i-1],sa[i],j)?p-1:p++;
- }
- }
然后是求height数组
- void calheight(char *s,int *sa,int n)
- {
- int i,j,k=0;
- for (i=1;i<=n;i++) rk[sa[i]]=i;
- for (i=0;i<n;h[rk[i++]]=k)
- for (k?k--:0,j=sa[rk[i]-1];s[i+k]==s[j+k];k++);
- }
然后是对height数组搞RMQ
- void RMQ()
- {
- int i,j;
- er[0]=1;
- for (i=1;i<20;i++)
- er[i]=er[i-1]*2;
- log2[0]=-1;
- for (i=1;i<=n;i++)
- log2[i]=(i&(i-1))?log2[i-1]:log2[i-1]+1;
- for (i=1;i<=n;i++)
- f[i][0]=h[i];
- for (j=1;j<20;j++)
- for (i=1;i+er[j]-1<=n;i++)
- f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i+er[j-1]][j-1]);
- }
然后是求公共前缀lcp
- int lcp(int a,int b)
- {
- int x=rk[a],y=rk[b];这一句很重要，我经常忘记
- if (x>y)
- {
- int t;
- t=x;x=y;y=t;
- }
- x++;
- int k=log2[y-x+1];
- return min(f[x][k],f[y-er[k]+1][k]);
- }
1.公共子串
2.最长重复子串
3.最长回文子串
4.重复次数最多的连续重复子串
当然还有根据height数组的分组思想，和二分答案。
poj 3693
给定一个字符串，求重复次数最多的连续重复子串。
枚举长度L，然后求长为L的子串最多能连续出现几次。其实就是求lcp(i,i+L)，不必像论文里写的向前向后匹配。令k=lcp(i,i+L)，t=i-(l-k%l)。如果t>=0 && k%l!=0，那么ans=k/l+2,否则就是k/l+1。
- #include <iostream>
- #include <cstring>
- const int maxn=100003;
- char s[maxn];
- int wa[maxn],wb[maxn],w[maxn],v[maxn],sa[maxn],rk[maxn],h[maxn],er[20],log2[maxn],a[maxn];
- int f[maxn][20];
- int n,cc;
- using namespace std;
- int cmp(int *r,int a,int b,int l)
- {
- return r[a]==r[b] && r[a+l]==r[b+l];
- }
- void da(char *s,int *sa,int n,int m)
- {
- int *x=wa,*y=wb,*t;
- int i,j,p;
- for (i=0;i<m;i++) w[i]=0;
- for (i=0;i<n;i++) w[x[i]=s[i]]++;
- for (i=1;i<m;i++) w[i]+=w[i-1];
- for (i=n-1;i>=0;i--) sa[--w[x[i]]]=i;
- for (j=1,p=1;p<n;j*=2,m=p)
- {
- for (p=0,i=n-j;i<n;i++) y[p++]=i;
- for (i=0;i<n;i++) if (sa[i]>=j) y[p++]=sa[i]-j;
- for (i=0;i<n;i++) v[i]=x[y[i]];
- for (i=0;i<m;i++) w[i]=0;
- for (i=0;i<n;i++) w[v[i]]++;
- for (i=1;i<m;i++) w[i]+=w[i-1];
- for (i=n-1;i>=0;i--) sa[--w[v[i]]]=y[i];
- for (t=x,x=y,y=t,p=1,x[sa[0]]=0,i=1;i<n;i++)
- x[sa[i]]=cmp(y,sa[i-1],sa[i],j)?p-1:p++;
- }
- }
- void calheight(char *s,int *sa,int n)
- {
- int i,j,k=0;
- for (i=1;i<=n;i++) rk[sa[i]]=i;
- for (i=0;i<n;h[rk[i++]]=k)
- for (k?k--:0,j=sa[rk[i]-1];s[i+k]==s[j+k];k++);
- }
- void RMQ()
- {
- int i,j;
- er[0]=1;
- for (i=1;i<20;i++)
- er[i]=er[i-1]*2;
- log2[0]=-1;
- for (i=1;i<=n;i++)
- log2[i]=(i&(i-1))?log2[i-1]:log2[i-1]+1;
- for (i=1;i<=n;i++)
- f[i][0]=h[i];
- for (j=1;j<20;j++)
- for (i=1;i+er[j]-1<=n;i++)
- f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i+er[j-1]][j-1]);
- }
- int lcp(int a,int b)
- {
- int x=rk[a],y=rk[b];
- if (x>y)
- {
- int t;
- t=x;x=y;y=t;
- }
- x++;
- int k=log2[y-x+1];
- return min(f[x][k],f[y-er[k]+1][k]);
- }
- void work()
- {
- int i,j,k,t,r,l,mm=0,tot=0;
- for (l=1;l<n;l++)
- for (i=0;i+l<n;i+=l)
- {
- k=lcp(i,i+l);
- r=k/l+1;
- t=i-(l-k%l);
- if (t>=0 && k%l!=0)
- if (lcp(t,t+l)>=k) r++;
- if (r>mm)
- {
- tot=0;
- a[++tot]=l;
- mm=r;
- }
- else if (r==mm) {
- a[++tot]=l; }
- }
- int st=0,tl=n;
- for (i=1;i<n;++i)
- for (j=1;j<=tot;++j)
- {
- k=lcp(sa[i],sa[i]+a[j]);
- if (k>=(mm-1)*a[j])
- {
- st=sa[i];
- tl=mm*a[j];
- i=n;
- break;
- }
- }
- printf("Case %d: ",cc);
- for (i=st;i<st+tl;i++)
- printf("%c",s[i]);
- printf("\n");
- }
- int main()
- {
- freopen("pin.txt","r",stdin);
- freopen("pou.txt","w",stdout);
- cc=0;
- while (scanf("%s",s)!=EOF && !(s[0]=='#' && strlen(s)==1))
- {
- cc++;
- n=strlen(s);
- s[n]=0;
- da(s,sa,n+1,128);
- calheight(s,sa,n);
- RMQ();
- work();
- }
- return 0;
- }
poj2406
论文解释的很清楚，求height数组中每一个到height[rank[1]]之间的最小值即可。
记住：是rank[1]
- #include <iostream>
- #include <cstring>
- const int maxn=1000003;
- char s[maxn];
- int wa[maxn],wb[maxn],w[maxn],v[maxn],sa[maxn],rk[maxn],rm[maxn],h[maxn];
- int n;
- using namespace std;
- int cmp(int *r,int a,int b,int l)
- {
- return r[a]==r[b] && r[a+l]==r[b+l];
- }
- void da(char *s,int *sa,int n,int m)
- {
- int *x=wa,*y=wb,*t;
- int i,j,p;
- for (i=0;i<m;i++) w[i]=0;
- for (i=0;i<n;i++) w[x[i]=s[i]]++;
- for (i=1;i<m;i++) w[i]+=w[i-1];
- for (i=n-1;i>=0;i--) sa[--w[x[i]]]=i;
- for (j=1,p=1;p<n;j*=2,m=p)
- {
- for (p=0,i=n-j;i<n;i++) y[p++]=i;
- for (i=0;i<n;i++) if (sa[i]>=j) y[p++]=sa[i]-j;
- for (i=0;i<n;i++) v[i]=x[y[i]];
- for (i=0;i<m;i++) w[i]=0;
- for (i=0;i<n;i++) w[v[i]]++;
- for (i=1;i<m;i++) w[i]+=w[i-1];
- for (i=n-1;i>=0;i--) sa[--w[v[i]]]=y[i];
- for (t=x,x=y,y=t,p=1,x[sa[0]]=0,i=1;i<n;i++)
- x[sa[i]]=cmp(y,sa[i-1],sa[i],j)?p-1:p++;
- }
- }
- void calheight(char *s,int *sa,int n)
- {
- int i,j,k=0;
- for (i=1;i<=n;i++) rk[sa[i]]=i;
- for (i=0;i<n;h[rk[i++]]=k)
- for (k?k--:0,j=sa[rk[i]-1];s[i+k]==s[j+k];k++);
- }
- void RMQ()
- {
- int i,k=rk[0];
- rm[k]=1000000;
- for (i=k-1;i>=0;i--)
- if (h[i+1]<rm[i+1]) rm[i]=h[i+1];
- else rm[i]=rm[i+1];
- for (i=k+1;i<=n;i++)
- if (h[i]<rm[i-1]) rm[i]=h[i];
- else rm[i]=rm[i-1];
- }
- int work()
- {
- int i;
- for (i=1;i<=n/2;i++)
- {
- if (n%i) continue;
- if (rm[rk[i]]==n-i) return n/i;
- }
- return 1;
- }
- int main()
- {
- freopen("pin.txt","r",stdin);
- freopen("pou.txt","w",stdout);
- while (scanf("%s",s)!=EOF && !(s[0]=='.' && strlen(s)==1))
- {
- n=strlen(s);
- s[n]=0;
- da(s,sa,n+1,128);
- calheight(s,sa,n);
- RMQ();
- printf("%d\n",work());
- }
- return 0;
- }
poj2774
见论文
- #include <iostream>
- using namespace std;
- const int maxn=200004;
- int wa[maxn],wb[maxn],w[maxn],v[maxn],a[maxn],sa[maxn],rk[maxn],h[maxn];
- char s[maxn],s1[maxn];
- int n,n1;
- int cmp(int *r,int a,int b,int l)
- {
- return r[a]==r[b] && r[a+l]==r[b+l];
- }
- void da(char *s,int *sa,int n,int m)
- {
- int *x=wa,*y=wb,*t,i,j,p;
- for (i=0;i<m;i++) w[i]=0;
- for (i=0;i<n;i++) w[x[i]=s[i]]++;
- for (i=1;i<m;i++) w[i]+=w[i-1];
- for (i=n-1;i>=0;i--) sa[--w[x[i]]]=i;
- for (j=1,p=1;p<n;j*=2,m=p)
- {
- for (p=0,i=n-j;i<n;i++) y[p++]=i;
- for (i=0;i<n;i++) if (sa[i]>=j) y[p++]=sa[i]-j;
- for (i=0;i<n;i++) v[i]=x[y[i]];
- for (i=0;i<m;i++) w[i]=0;
- for (i=0;i<n;i++) w[v[i]]++;
- for (i=1;i<m;i++) w[i]+=w[i-1];
- for (i=n-1;i>=0;i--) sa[--w[v[i]]]=y[i];
- for (t=x,x=y,y=t,p=1,x[sa[0]]=0,i=1;i<n;i++)
- x[sa[i]]=cmp(y,sa[i-1],sa[i],j)?p-1:p++;
- }
- }
- void calheight(char *s,int *sa,int n)
- {
- int i,j,k=0;
- for (i=1;i<=n;i++) rk[sa[i]]=i;
- for (i=0;i<n;h[rk[i++]]=k)
- for (k?k--:0,j=sa[rk[i]-1];s[i+k]==s[j+k];k++);
- }
- int work()
- {
- int i,ans=0;
- for (i=2;i<=n;i++)
- if (sa[i]<n1) a[i]=0;
- else a[i]=1;
- for (i=3;i<=n;i++)
- if (a[i]!=a[i-1] && h[i]>ans)
- ans=h[i];
- return ans;
- }
- int main()
- {
- freopen("pin.txt","r",stdin);
- freopen("pou.txt","w",stdout);
- scanf("%s",s);
- scanf("%s",s1);
- n1=strlen(s);
- strcat(s,"$");
- strcat(s,s1);
- n=strlen(s);
- s[n]=0;
- da(s,sa,n+1,128);
- calheight(s,sa,n);
- printf("%d\n",work());
- }
poj1743
就是应用二分答案和分组思想（我一开始很二叉的用数组记录了分组，表示就是循环的时候判断一下就可以了，详细可以见论文
- #include <stdio.h>
- using namespace std;
- const int maxn=20005;
- int wa[maxn],wb[maxn],sa[maxn],rk[maxn],s[maxn],w[maxn],h[maxn],v[maxn];
- int n,ans;
- void init()
- {
- int i;
- for (i=0;i<n;i++)
- scanf("%d",&s[i]);
- for (i=0;i<n-1;i++)
- s[i]=s[i+1]-s[i]+100;
- s[--n]=0;
- }
- int cmp(int* r,int a,int b,int l)
- {
- return r[a]==r[b] && r[a+l]==r[b+l];
- }
- void da(int* s,int* sa,int n,int m)
- {
- int* x=wa;int* y=wb;int* t;
- int i,j,p;
- for (i=0;i<m;i++) w[i]=0;
- for (i=0;i<n;i++) w[x[i]=s[i]]++;
- for (i=1;i<m;i++) w[i]+=w[i-1];
- for (i=n-1;i>=0;i--) sa[--w[x[i]]]=i;
- for (j=1,p=1;p<n;j*=2,m=p)
- {
- for (p=0,i=n-j;i<n;i++) y[p++]=i;
- for (i=0;i<n;i++) if (sa[i]>=j) y[p++]=sa[i]-j;
- for (i=0;i<m;i++) w[i]=0;
- for (i=0;i<n;i++) v[i]=x[y[i]];
- for (i=0;i<n;i++) w[v[i]]++;
- for (i=1;i<m;i++) w[i]+=w[i-1];
- for (i=n-1;i>=0;i--) sa[--w[v[i]]]=y[i];
- for (t=x,x=y,y=t,x[sa[0]]=0,p=1,i=1;i<n;i++)
- x[sa[i]]=cmp(y,sa[i-1],sa[i],j)?p-1:p++;
- }
- }
- void calheight(int* s,int* sa,int n)
- {
- int i,j,k=0;
- for (i=1;i<=n;i++)
- rk[sa[i]]=i;
- for (i=0;i<n;h[rk[i++]]=k)
- for (k?k--:0,j=sa[rk[i]-1];s[i+k]==s[j+k];k++);
- }
- int ok(int t)
- {
- int smax,smin,i,j;
- smin=smax=sa[1];
- for (i=2;i<=n;i++)
- {
- if (h[i]>=t && i<n)
- {
- if (sa[i]>smax) smax=sa[i];
- if (sa[i]<smin) smin=sa[i];
- continue;
- }
- if (smax-smin>=t) return 1;
- smin=smax=sa[i];
- }
- return 0;
- }
- void bin()
- {
- int ll=4,rr=n,mid;
- while (ll<=rr)
- {
- mid=(ll+rr)/2;
- if (ok(mid)) ans=mid,ll=mid+1;
- else rr=mid-1;
- }
- }
- int main()
- {
- freopen("pin.txt","r",stdin);
- freopen("pou.txt","w",stdout);
- while (scanf("%d",&n),n)
- {
- init();
- da(s,sa,n+1,200);
- calheight(s,sa,n);
- bin();
- ans++;
- if (ans<5) ans=0;
- printf("%d\n",ans);
- }
- return 0;
- }
-
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