1.二叉树的常用性质
<1>.在二叉树的第i层上最多有2 i-1 个节点 。（i>=1）
<2>.二叉树中如果深度为k(有k层),那么最多有2k-1个节点。(k>=1）
<3>.若二叉树按照从上到下从左到右依次编号，则若某节点编号为k，则其左右子树根节点编号分别为2k和2k+1;
<4>.二叉树分类：满二叉树，完全二叉树
满二叉树：高度为h，由2^h-1个节点构成的二叉树称为满二叉树。
<5>.在完全二叉树中，具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1，其中[log2n]+1是向下取整。满二叉树的深度为k=log2(n+1);
2.二叉树的循环递归规律法
例题：uva679小球下落
题意：有一颗满二叉树，每个节点是一个开关，初始全是关闭的，小球从顶点落下，
小球每次经过开关就会把它的状态置反，这个开关为关时，小球左跑，为开时右跑。现在问第k个球下落到d层时的开关编号。输入深度d和小球个数k。d<20，k<524288
思路分析：首先该题最先想到的是模拟，开一个数组表示开关，下标表示编号，根据k的子树为2k和2k+1来改变数组，判断进行。但是该思路不但要开2^20这么大的数组而且循环最大时有524288*2^20次，绝逼超时！
因此改变思路，寻找题目规律：
<1>.首先对于每一层，第奇数个落入该层的球都是往左走的，第偶数个落入该层的球都是往右走的。
<2>.因为小球都是按照编号依次下落的，对于左枝（也就是奇数球)，每个I号小球落入该层都是第(I+1)/2个小球。而偶数是往右走的I/2个小球！
<3>.因此每一层循环递归，来判断i，循环d层，即可找出最后叶子！省去大数组和大时间
代码：
-
#include
<iostream>
-
#include
<cstdio>
-
using namespace std;
-
int main()
-
{
-
int n;
-
while(cin>>n)
-
{
-
if(n==-1)break;
-
int D,I;
-
while(n–)
-
{
-
cin>>D>>I;//D层I个小球
-
int k=1;
-
for(int i=0; i
<D-1; i++)
-
{
-
if(I%2)//奇数是往左走的第（i+1)/2个小球
-
{
-
k=k*2;//往左走是k*2
-
I=(I+1)/2;//改变小球
-
}
-
else
-
{
-
k=(k*2+1);//偶数是往右走的第（i/2）个小球
-
-
I=I/2;
-
}
-
}
-
cout
<<k<<endl;
-
}
-
}
-
return 0;
-
}
1.第一类数组实现
在这种实现当中，对于编号为k的节点，其左子节点的编号为2*k，右子节点的编号为2*k + 1，另外确定根节点的编号为1.
毫无疑问，这种实现极易产生巨大的空间浪费，比如对于一个只有一条链的树，假设该树含有31个节点，存储这31个节点却需要开一个2^30的数组，因此此方法较少使用。（此处的2^30是指数值，由2k计算出来的数值过大）
在这种实现当中，对于编号为k的节点，其左子节点的编号为2*k，右子节点的编号为2*k + 1，另外确定根节点的编号为1.
毫无疑问，这种实现极易产生巨大的空间浪费，比如对于一个只有一条链的树，假设该树含有31个节点，存储这31个节点却需要开一个2^30的数组，因此此方法较少使用。（此处的2^30是指数值，由2k计算出来的数值过大）
2.结构体+指针实现
用结构体u来表示一个节点，其中u->v表示该节点的权值，u->left和u->right分别表示该节点的左右子节点，初始化全部为NULL，若需用到该节点，则申请空间，否则视为无子节点！就这样互相联系成一颗结构体指针二叉树！
3..第二类数组实现
对于一棵有n个节点树，只需要开一个大小为n的数组，节点按照出现顺序依次编号，这么一来，每个节点的左右节点的编号就无法通过2*k，2*k+1的形式来直接确定了，这时就需要数组lch[maxn] , rch[maxn]；其中lch[u]表示u节点的左子节点的编号，因此通过u = lch[u]就可以访问到u节点的左子节点，rch[u]的含义同理。另外，用value[u]表示编号为u节点的权值，如此一来，申请新节点的newnode函数与初始化的newtree函数写法就变得不同了，具体见代码。（此处只需结点个数个数组即可，并不计算数值！）
对于一棵有n个节点树，只需要开一个大小为n的数组，节点按照出现顺序依次编号，这么一来，每个节点的左右节点的编号就无法通过2*k，2*k+1的形式来直接确定了，这时就需要数组lch[maxn] , rch[maxn]；其中lch[u]表示u节点的左子节点的编号，因此通过u = lch[u]就可以访问到u节点的左子节点，rch[u]的含义同理。另外，用value[u]表示编号为u节点的权值，如此一来，申请新节点的newnode函数与初始化的newtree函数写法就变得不同了，具体见代码。（此处只需结点个数个数组即可，并不计算数值！）
例题：uva122 树的层次遍历
题意：给你一颗二叉树，按照从上到下从左到右的顺序输出每个节点的权值，若某个节点没有赋值或者输入超过一次，则输出no complete.
输入：(11,LL) (7,LLL) (8,R)
(5,) (4,L) (13,RL) (2,LLR) (1,RRR) (4,RR) ()
(3,L) (4,R) ()
输出：5 4 8 11 13 4 7 2 1
not complete
<1>.结构体指针实现法
第一步解决输入问题建树，然后递归遍历树模拟判断即可！
代码：
-
#include
<iostream>
-
#include
<cstdio>
-
#include
<vector>
-
#include
<queue>
-
#include
<cstring>
-
using namespace std;
-
const int maxn=266;
-
char s[maxn];//输入
-
bool failed;
-
struct Node//节点
-
{
-
bool have_value;//该点是否被赋值过
-
int v;//该点权值
-
Node*left,*right;//左右子节点
-
Node():have_value(false),left(NULL),right(NULL){}//初始化函数
-
};
-
Node*root;//树根！！
-
Node* newnode()//分配内存
-
{
-
return new Node();//分配同时初始化
-
}
-
void addnode(int v,char *a)//建树
-
{
-
int len=strlen(a);
-
Node *u=root;
-
for(int i=0;i
<len;i++)
-
{
-
if(a[i]=='L')//左
-
{
-
if(u->left==NULL)u->left=newnode();//若左节点没有分配内存，没有开辟过，则申请内存，因为经过该节点了，该节点必须赋值！
-
u=u->left;//更新路径
-
}
-
else if(a[i]=='R')//右
-
{
-
if(u->right==NULL)u->right=newnode();//同上
-
u=u->right;
-
}
-
}
-
if(u->have_value)failed=true;//如果该节点已经被赋值过了，则非法输入，报错
-
u->v=v;//更新该节点
-
u->have_value=true;//标记赋值
-
}
-
-
bool read_in()//输入
-
{
-
root=newnode();//给树根申请内存
-
failed=false;//标记
-
for(;;)
-
{
-
if(scanf("%s",s)!=1)return false;//输入c+z了结束
-
if(strcmp(s,"()")==0)break;//读到()表示该组数据正常结束
-
int v;
-
sscanf(&s[1],"%d",&v);//sscanf读取权值并赋给v
-
addnode(v,strchr(s,',')+1);//读取路径，并且建树，最好不要在此处判断failed因为还没有完整输入数据
-
}
-
return true;
-
}
-
bool bfs(vector
<int>&ans)//遍历树，并保存权值
-
{
-
queue
<Node*>q;//队列
-
ans.clear();
-
q.push(root);
-
while(!q.empty())
-
{
-
Node*u=q.front();
-
q.pop();
-
if(!u->have_value)return false;//若该节点没有赋值，说明出现了越节点赋值现象，报错
-
ans.push_back(u->v);//存入节点权值，按照从上到下从左到右
-
if(u->left!=NULL)q.push(u->left);//左
-
if(u->right!=NULL)q.push(u->right);//右--->循环递归！！借助queue
-
}
-
return true;
-
}
-
int main()
-
{
-
while(1)
-
{
-
if(!read_in())//输入数据并且建树完成
-
break;
-
vector
<int> ans;//ans用来存储权值，最后输出
-
if(!failed&&bfs(ans))//均无错误，则可输出
-
{
-
int l=ans.size();
-
for(int j=0;j
<l;j++)//输出
-
{
-
if(j==0)
-
cout<<ans[j];
-
else
-
cout<<" "<<ans[j];
-
}
-
cout<<endl;
-
}
-
else
-
cout<<"not complete"<<endl;
-
}
-
return 0;
-
}
<2>。数组实现
核心代码：
- void newtree() //初始化一颗新树，由于静态实现无法回收内存，因此顺便充当析构函数
- {
- lch[root] = rch[root] = 0;
- have_value[root] = 0;
- cnt = root;
- }
- int newnode() //建立新节点的函数，其中0相当于结构体中的空指针
- {
- int u = ++cnt;
- lch[u] = rch[u] = 0;
- have_value[u] = 0;
- return u;
- }
- void addnode(int v , char * s) //建立新节点的过程
- {
- int n = strlen(s);
- int u = root;
- for(int i = 0; i<n;i++){
- if(s[i] == ‘L’ ) { //重点！
- if(lch[u] == 0)
- lch[u] = newnode();
- u = lch[u];
- }
- else if(s[i] == ‘R’){
- if(rch[u] == 0)
- rch[u] = newnode();
- u = rch[u];
- }
- }
- if(have_value[u]) failed = true;
- value[u] = v;
- have_value[ u ] = 1;
- }
具体代码：
数组实现二叉树
三.二叉树的三种访问方式
1.先序遍历：按照根节点->左子树->右子树的顺序访问二叉树
先序遍历：（1）访问根节点；（2）采用先序递归遍历左子树；（3）采用先序递归遍历右子树；
(注：每个节点的分支都遵循上述的访问顺序，体现“递归调用”)
先序遍历结果：A BDFE CGHI
思维过程：（1）先访问根节点A，
（2）A分为左右两个子树，因为是递归调用，所以左子树也遵循“先根节点-再左-再右”的顺序，所以访问B节点，
（3）然后访问D节点，
（4）访问F节点的时候有分支，同样遵循“先根节点-再左–再右”的顺序,
(5)访问E节点，此时左边的大的子树已经访问完毕，
(6)然后遵循最后访问右子树的顺序，访问右边大的子树，右边大子树同样先访问根节点C,
(7)访问左子树G,
(8)因为G的左子树没有，所以接下俩访问G的右子树H,
(9)最后访问C的右子树I
2.中序遍历：按照左子树->根节点->右子树的顺序访问
中序遍历：（1）采用中序遍历左子树；（2）访问根节点；（3）采用中序遍历右子树
中序遍历结果：
DBEF A GHCI
后序遍历：（1）采用后序递归遍历左子树；（2）采用后序递归遍历右子树；（3）访问根节点；
后序遍历的结果：DEFB HGIC A
小结：三种方法遍历过程中经过节点的路线一样；只是访问各个节点的时机不同。
递归算法主要使用堆栈来实现。
急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急就急急急急急急急急急急急急急急急急急急就急急急急急急急急急就急急
例题：uva548 树
题意：输入一个二叉树的中序和后序，输出一个叶子节点，该叶子节点到根的数值总和最小。
Sample Input
3 2 1 4 5 7 6
3 1 2 5 6 7 4
7 8 11 3 5 16 12 18
8 3 11 7 16 18 12 5
255
255
Sample Output
1
3
255
3 2 1 4 5 7 6
3 1 2 5 6 7 4
7 8 11 3 5 16 12 18
8 3 11 7 16 18 12 5
255
255
Sample Output
1
3
255
思路：
首先，我们先明确一个知识点，就是你知道了一棵树的中序和后序遍历，求他的前序遍历，我们应该怎么来做？
第一步：最初的时候，我们的后序遍历的最后一个数字就是我们的一个子树的根节点
第二步：找到我们的根结点后，跟据我们中序遍历的性质，我们的树就会被自然地分成了左右两个部分。
第三步：统计出来左右两个子树的大小和长度，这样就能继续重复上面的步骤
通过中序和后序来建树，然后递归找到所有节点到根节点的路径和，不断更新，最后输出即可！
代码：
-
#include
<iostream>
-
#include
<string>
-
#include
<sstream>
-
#include
<algorithm>
-
#include
<cstdio>
-
#include
<cstring>
-
using namespace std;
-
const int maxn=10000+10;
-
int lch[maxn],rch[maxn],in_order[maxn],post_roder[maxn];
-
int n;
-
int read_list(int* a)
-
{
-
// memset(lch,0,sizeof(lch));
-
// memset(rch,0,sizeof(rch));
-
// memset(in_order,0,sizeof(in_order));
-
// memset(post_roder,0,sizeof(post_roder));
-
string line;
-
if(!getline(cin,line))return false;//因为题目说一行数据，没有结束标志，所以以回车为结束用字符串读入！
-
stringstream ss(line);
-
n=0;
-
int x;
-
while(ss>>x)a[n++]=x;//存入数组
-
return n>0;
-
}
-
int build(int L1,int R1,int L2,int R2)//建树各树的： 中序-后序
-
{
-
if(L1>R1)return 0;//空树
-
int root=post_roder[R2];//树根是后序的最后一个字符
-
int p=L1;
-
while(in_order[p]!=root)p++;//在中序里找到左子树结点个数
-
int cnt=p-L1;//左子树个数
-
lch[root]=build(L1,p-1,L2,L2+cnt-1);//以root为根的左子树建树l1-p-1是中序的左边也就是左子树的中序，l2-l2+cnt-1是左子树的后序，看上面图片就可以知道，下面同，这样不断递归找到各个节点！
-
rch[root]=build(p+1,R1,L2+cnt,R2-1);//右子树建树
-
return root;
-
}
-
int best,best_sum;//最优解
-
void dfs(int u,int sum)//找最优解
-
{
-
sum+=u;
-
if(!lch[u]&&!rch[u])//没有左右子树了说明已经到达最低端叶子，该路径完成，判断是否最优解
-
{
-
if(sum
<best_sum||(sum==best_sum&&u<best))
-
{
-
best_sum=sum;
-
best=u;
-
}
-
}
-
if(lch[u])dfs(lch[u],sum);//否则还在树枝上，继续向下找叶子
-
if(rch[u])dfs(rch[u],sum);
-
}
-
int main()
-
{
-
while(read_list(in_order))//把中序读入数组in_order
-
{
-
read_list(post_roder);//读入后序post_order
-
build(0,n-1,0,n-1);//建树
-
best_sum=1000000000;//最优解
-
dfs(post_roder[n-1],0);//递归寻找最优解
-
cout<<best<<endl;
-
}
-
return 0;
-
}
四.二叉树的递归输入！
例题：uva839 天平
题意：根据干杠平衡原理，判断题目所给出的数据组成的天平能否平衡。注意，此天平可能包含子天平。输入时，如果w为0，则表示包含子天平，子天平按照先左后右的方法输入
子天平只需要判断w1*d1==w2*d2是否正确即可。那么父天平又如何判断呢？ 公式一样，不同的是，父天平的两边的重量是子天平砝码总和。
Sample Input
1
0 2 0 4
0 3 0 1
1 1 1 1
2 4 4 2
1 6 3 2
Sample Output
YES
注意：该题在于怎么输入，题目的输入是按照构建天平进行的，什么时候天平构建完什么时候一组输入结束，所以这就要求一边输入一边建树，递归输入!!
代码：
-
#include
<iostream>
-
using namespace std;
-
bool solve(int &w)
-
{
-
int w1,d1,w2,d2;
-
cin>>w1>>d1>>w2>>d2;
-
bool b1=true,b2=true;
-
if(!w1)b1=solve(w1);//如果w1=0,则说明w1有子树，同时把w1带入递归求出w1也就是子树总重量
-
if(!w2)b2=solve(w2);//同上
-
w=w1+w2;//求总重量，其实如果只考虑最上层的天平，这步似乎没什么意义；但其实它的意义在于，在当前是递归到一个子天平的情况时，就要重新输入子天平所在处的左右天平，如果有了这句代码，参数 W1 或者 W2,最终就能变为子天平上的两个左右天平的总重量。如此,等到判断 D1 * W1 == D2 * W2时，W1 和 W2就都不会是0了，而是该子天平下所有子天平的总重量(如果有的话，没有子天平，就还是它本身的质量，总之不会是0，而是它自己或是自己所有子天平的重量
-
return b1&&b2&&(w1*d1==w2*d2);//要想平衡，每一个天平都要平衡！
-
}
-
int main()
-
{
-
int T,W;
-
cin>>T;//组数
-
while(T--)
-
{
-
if(solve(W))//输入同时判断
-
cout
<<"YES"<<endl;
-
else
-
cout<<"NO"<<endl;
-
if(T)
-
cout<<endl;
-
}
-
return 0;
-
}
五.非二叉树
这里强调一个常用的技巧，如果题目给出了每一个节点的位置描述，则每个节点递归赋值即可，类似于例题二：
void addnode(int v,char *a)//建树
{
int len=strlen(a);
Node *u=root;
for(int i=0;i<len;i++)
{
if(a[i]==’L’)//左
{
if(u->left==NULL)u->left=newnode();//若左节点没有分配内存，没有开辟过，则申请内存，因为经过该节点了，该节点必须赋值！
u=u->left;//更新路径
}
else if(a[i]==’R’)//右
{
if(u->right==NULL)u->right=newnode();//同上
u=u->right;
}
}
{
int len=strlen(a);
Node *u=root;
for(int i=0;i<len;i++)
{
if(a[i]==’L’)//左
{
if(u->left==NULL)u->left=newnode();//若左节点没有分配内存，没有开辟过，则申请内存，因为经过该节点了，该节点必须赋值！
u=u->left;//更新路径
}
else if(a[i]==’R’)//右
{
if(u->right==NULL)u->right=newnode();//同上
u=u->right;
}
}
但是如果题目给出的是整棵树的路径顺序，如整棵树的先序，后序等等，这时候就需要整棵树按照给予的字符串递归建树，类似uva297四分树的指针结构体建树思路：
Node* createNode(
char
* s)
//递归建树
{
if
(s[n]==
'\0'
)
return
NULL;
Node* pNode=
new
Node;
if
(s[n]==
'p'
)
{
pNode->type=0;
n++;
pNode->fch=createNode(s);
pNode->sch=createNode(s);
pNode->tch=createNode(s);
pNode->lch=createNode(s);
}
else
if
(s[n]==
'f'
)
{
pNode->type=1;
n++;
}
else
{
pNode->type=2;
n++;
}
return
pNode;
}
注意全局变量或者引用的使用来改变n的值最为关键！！
练习：
<1>
已知二叉树的一个按先序遍历输入的字符序列，如abc,,de,g,,f,,, (其中,表示空结点)。请建立二叉树并按中序和后序的方式遍历该二叉树。
注：若题目给出空节点，则只需一个先序字符串就可以建树，然后递归求得中序后序，若求层次遍历，则要用队列！若不给出空节点，则只能用两个序列字符串才能建树！
代码：
-
#include
<iostream>
-
#include
<queue>
-
#include
<cstdio>
-
#include
<vector>
-
using namespace std;
-
struct Node
-
{
-
char ch;
-
Node *lefted,*righted;
-
Node():ch(0),lefted(NULL),righted(NULL) {}
-
};
-
Node *newnode()
-
{
-
return new Node();
-
};
-
Node *Root;
-
Node *build(const char *s,int& p)
-
{
-
-
char sign=s[p++];
-
if(sign==',')
-
return NULL;
-
else
-
{
-
Node *root;
-
root=newnode();
-
root->ch=sign;
-
root->lefted=build(s,p);
-
root->righted=build(s,p);
-
return root;
-
}
-
-
}
-
void solveZ(Node *tree)
-
{
-
if(tree)
-
{
-
solveZ(tree->lefted);
-
cout
<<tree->ch;
-
solveZ(tree->righted);
-
}
-
}
-
void solveH(Node *tree)
-
{
-
if(tree)
-
{
-
solveH(tree->lefted);
-
solveH(tree->righted);
-
cout
<<tree->ch;
-
}
-
}
-
int main()
-
{
-
char name[100];
-
while(scanf("%s",name)!=EOF)
-
{
-
int m=0;
-
Root=build(name,m);
-
solveZ(Root);
-
cout
<<endl;
-
solveH(Root);
-
cout<<endl;
-
}
-
return 0;
-
}
<2>输入二叉树的先序遍历序列和中序遍历序列，输出该二叉树的后序遍历序列。
第一行输入二叉树的先序遍历序列；
第二行输入二叉树的中序遍历序列。
第二行输入二叉树的中序遍历序列。
输出该二叉树的后序遍历序列。
ABDCEF
BDAECF
DBEFCA
代码：
-
#include
<iostream>
-
#include
<cstdio>
-
#include
<cstring>
-
using namespace std;
-
char pre_name[100];
-
char in_name[100];
-
struct Node
-
{
-
char ch;
-
Node *lefted,*righted;
-
Node():ch(0),lefted(NULL),righted(NULL) {}
-
};
-
Node *Root;
-
Node *build(int L1,int R1,int L2,int R2)//前序找根，中序分割建树
-
{
-
if(L2>R2)return NULL;
-
Node *root;
-
root=new Node();
-
root->ch=pre_name[L1];
-
int p=L2;
-
while(in_name[p]!=root->ch)p++;
-
int cnt=p-L2;
-
root->lefted=build(L1+1,L1+cnt,L2,p-1);
-
root->righted=build(L1+cnt+1,R1,p+1,R2);
-
return root;
-
}
-
void select_post(Node *tree)
-
{
-
if(tree)
-
{
-
select_post(tree->lefted);
-
select_post(tree->righted);
-
cout
<<tree->ch;
-
}
-
}
-
int main()
-
{
-
scanf("%s%s",pre_name,in_name);
-
int n=strlen(pre_name);
-
Root=build(0,n-1,0,n-1);
-
select_post(Root);
-
cout
<<endl;
-
return 0;
-
}
-
<3>
已知一个按先序输入的字符序列，如abd,,eg,,,cf,,,(其中,表示空结点)。请建立二叉树并求二叉树的层次遍历序列。
输入数据有多行，第一行是一个整数t (t<1000)，代表有t行测试数据。每行是一个长度小于50个字符的字符串。
输出二叉树的层次遍历序列。
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abd,,eg,,,cf,,,
xnl,,i,,u,,
abd,,eg,,,cf,,,
xnl,,i,,u,,
abcdefg
xnuli
xnuli
代码：
-
#include
<iostream>
-
#include
<cstdio>
-
#include
<cstring>
-
#include
<queue>
-
#include
<vector>
-
using namespace std;
-
char pre_name[100];//如果给出空节点的，则一个序列遍历就可建树，否则要两个序列！且层次遍历用队列，其他遍历用递归即可！
-
struct Node
-
{
-
char ch;
-
Node *lefted,*righted;
-
Node():ch(0),lefted(NULL),righted(NULL) {}
-
};
-
Node *Root;
-
Node *build(const char *s,int &p)
-
{
-
char sign=s[p++];
-
if(sign==',')
-
return NULL;
-
else
-
{
-
Node *root;
-
root=new Node();
-
root->ch=sign;
-
root->lefted=build(s,p);
-
root->righted=build(s,p);
-
return root;
-
}
-
}
-
void serch(vector
<char>&u)
-
{
-
queue
<Node*>que;
-
u.clear();
-
if(Root)//要考虑根节点为空的情况！！！！
-
{
-
que.push(Root);
-
}
-
while(!que.empty())//队列递归求层序遍历！！
-
{
-
Node *nodes=que.front();
-
que.pop();
-
u.push_back(nodes->ch);
-
if(nodes->lefted!=NULL)que.push(nodes->lefted);
-
if(nodes->righted!=NULL)que.push(nodes->righted);
-
}
-
}
-
int main()
-
{
-
int T;
-
cin>>T;
-
getchar();
-
while(T--)
-
{
-
scanf("%s",pre_name);
-
int m=0;
-
Root=build(pre_name,m);
-
vector
<char>ans;
-
serch(ans);
-
for(int i=0; i
<ans.size(); i++)
-
cout<<ans[i];
-
cout<<endl;
-
}
-
return 0;
-
}
-
</div>
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