adaboost公式推导

博客聚焦于Adaboost公式推导,在信息技术领域,Adaboost是重要算法,其公式推导对理解和应用该算法有重要意义,能助力相关技术的研究与实践。

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### AdaBoost算法的数学公式及其推导 #### 加法模型表示 AdaBoost可以被看作是一个加法模型,该模型通过迭代的方式构建一系列弱分类器并将它们组合成强分类器。具体来说,最终得到的强分类器表达式如下: \[f(x) = \sum_{i=1}^{m}\beta_ib(x;\gamma_i)\] 这里\(b(x;\gamma_i)\)代表基学习器(即弱分类器),\(\gamma_i\)是其对应的参数集,而\(\beta_i\)则是分配给每个基学习器的重要性权重[^3]。 #### 弱分类器线性组合 对于二类分类问题,AdaBoost采用了一种特殊的加权投票机制来决定最终预测结果: \[H(x)=sign\left (\sum_{t=1}^{T}\alpha_th_t(x) \right )\] 其中,\(h_t(x)\)表示第\(t\)轮训练产生的弱分类器;\(\alpha_t\)则反映了相应弱分类器在整个集成中的影响力大小。值得注意的是,在每一轮迭代过程中,新的弱分类器会更侧重于那些之前被误判的数据样本,以此提高整体性能[^4]。 #### 权重更新规则 为了使后续加入的弱分类器能够更好地修正之前的错误,需要调整训练集中各个实例的相对重要程度。设当前轮次为\(m\),那么下一个轮次中某个特定样本\(x_i\)的新权重可由下述公式计算得出: \[D_{m+1}(i)=\frac{D_m(i)e^{-y_if(x_i)}}{\sum_j D_m(j)e^{-y_jf(x_j)}}\] 当样本被正确分类时(即\(y_if(x_i)>0\)),指数项将小于1从而降低该样本在未来几轮内的影响;反之如果发生误分,则会使该项增大进而增加这些难处理案例的关注度[^5]。 ```python import numpy as np def update_weights(D, y_true, y_pred): """根据本轮分类情况更新样本权重""" # 计算exp(-yi*fi(xi)) exp_term = np.exp(-y_true * y_pred) # 归一化因子Z Z = sum([d * e for d,e in zip(D, exp_term)]) # 更新后的权重分布 new_D = [(d*e)/Z for d,e in zip(D, exp_term)] return new_D ```
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