计蒜客——草药的价值——背包问题

最新推荐文章于 2024-06-26 11:00:00 发布
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辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”  如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

输入文件medic.in的第一行有两个整数T（1  < =  T  < =  1000）和M（1  < =  M  < =  100），用一个空格隔开，T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包括1和100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出文件medic.out包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

对于30%的数据，M  < =  10；对于全部的数据，M  < =  100。

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描述 辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。” 如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？ 输入描述 第一行有 2 个整数 T（1≤T≤1000）和 M（1≤M≤100），用一个空格隔开，T 代表总共能够用来采药的时间，M 代表山洞里的草药的数目。 接下来的 M 行每行包括两个在 1 到 100 之间（包括 1 和 100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。 输出描述 输出在规定的时间内可以采到的草药的最大总价值。 用例输入 1 70 3 71 100 69 1 1 2 用例输出 1 3 提示 【数据范围】 对于 30% 的数据，M≤10； 对于全部的数据，M≤100。
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<think>这是一个经典的动态规划问题——0-1背包问题。在这个问题中，我们有T的总时间（背包容量），M株草药（物品），每株草药有采摘时间（重量）和价值。目标：在不超过总时间T的前提下，使得采到的草药总价值最大。我们将使用动态规划来解决。定义dp[i][j]表示面对前i株草药，在时间j内可以获得的最大价值。状态转移方程：对于第i株草药（时间t_i,价值v_i），我们可以选择采或者不采。不采：dp[i][j]=dp[i-1][j]采：如果j>=t_i,则dp[i][j]=dp[i-1][j-t_i]+v_i因此：dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-t_i]+v_i)(当j>=t_i)由于M最大为100，T最大为1000，我们可以使用二维数组，但也可以优化为一维数组（滚动数组）。这里我们使用一维数组优化，即使用dp[j]表示时间j内的最大价值。注意：内层循环需要从大到小遍历，以避免覆盖之前的状态。步骤：1.初始化dp数组，长度为T+1，全部为0。2.依次考虑每一株草药（从1到M），对于当前草药（时间t，价值v），从时间T开始倒序遍历到t（因为当时间小于t时，无法采这株草药）：dp[j]=max(dp[j],dp[j-t]+v)3.dp[T]即为答案（注意：实际上最大价值可能出现在小于T的时间，所以实际上我们遍历过程中最大值在dp数组中，但最后dp[T]不一定是最大值，我们需要整个数组的最大值？）但是注意，我们的背包不一定需要装满，但题目要求总时间不超过T即可，所以最大值可能是dp[0..T]中的最大值？但动态规划过程中，我们求的是在不超过j时间的情况下的最大价值，所以dp[T]就是不超过T时间的最大价值。而且我们倒序遍历时，dp[T]就是考虑了所有草药后，在时间T内的最大价值。实际上，由于我们不需要恰好装满，所以dp数组是单调不减的，因此dp[T]就是所有时间不超过T的最大价值。但是根据0-1背包的标准解法，我们最后的结果就是dp[T]（注意：我们这里的一维dp数组在循环结束后，dp[j]表示在总时间不超过j的情况下的最大价值）。所以答案就是dp[T]。然而，我们看用例：输入：T=70,M=3草药1：71100->因为71>70，所以无法采草药2：691草药3：12根据我们的方法，当我们考虑草药2时（69,1），只有j>=69时，dp[j]可以更新为max(dp[j],dp[j-69]+1)；然后考虑草药3（1,2），对于j>=1，dp[j]更新为max(dp[j],dp[j-1]+2)。我们初始化dp数组全0。草药2：对于j=69..70，dp[j]=max(0,dp[j-69]+1)=1（因为j-69>=0，而dp[j-69]在初始时为0，所以dp[69]和dp[70]都变为1）草药3：对于j=70:dp[70]=max(dp[70]=1,dp[69]+2=1+2=3)->3j=69:dp[69]=max(dp[69]=1,dp[68]+2=0+2=2)->2j=68~1:同理更新为0->2（但是因为我们只要求到T=70，所以不用管更小的）最后dp[70]=3，符合用例输出。因此，我们的方法是正确的。代码步骤：读取T和M初始化一个长度为T+1的数组dp，全部为0循环M次，每次读取一株草药的时间和价值倒序遍历j从T到当前草药的时间，更新dp[j]输出dp[T]注意：因为题目中每株草药只能采一次，所以我们倒序遍历时间。我们使用Python实现。</think> 这是一个经典的0-1背包问题，其中T表示背包容量（总时间），M表示物品数量（草药数量），每株草药的采摘时间是物品重量，价值是物品价值。目标是最大化在不超过总时间T的情况下采集的草药总价值。 ### 解决方案 我们使用动态规划来解决这个问题，核心是维护一个一维数组`dp`，其中`dp[j]`表示在时间j内能获得的最大价值。通过倒序更新数组避免状态覆盖。 ```python T, M = map(int, input().split()) # 初始化dp数组，长度为T+1，所有值为0 dp = [0] * (T + 1) for _ in range(M): t, v = map(int, input().split()) # 倒序遍历时间：从T到当前草药所需时间t for j in range(T, t - 1, -1): if dp[j] < dp[j - t] + v: dp[j] = dp[j - t] + v print(dp[T]) ``` ### 代码解释 1. **输入处理**：先读取总时间T和草药数量M 2. **初始化dp数组**：创建长度为T+1的数组，初始值全0 3. **遍历每株草药**： - 对于每株草药，读取其时间t和价值v - 使用倒序循环从T到t更新dp数组： - `dp[j] = max(dp[j], dp[j - t] + v)` 比较不采与采当前草药的收益 4. **输出结果**：`dp[T]`即表示在T时间内能获得的最大价值 ### 算法复杂度 - 时间复杂度：O(M×T)，需要遍历所有草药及所有可能的时间 - 空间复杂度：O(T)，仅需一维数组存储状态 ### 示例分析 对于输入： ``` 70 3 71 100 69 1 1 2 ``` - 第一株草药(71,100)超时跳过 - 第二株草药(69,1)：使时间69-70的价值变为1 - 第三株草药(1,2)：更新dp[70]=max(1, dp[69]+2)=max(1,0+2)=3 最终输出3，匹配用例。
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