素数的求解方法：

一、朴素判断素数算法

就判断素数而言，事实上是非常简单的了。根据定义，判断一个整数n是否是素数，只需要去判断在整数区间[2, n-1]之内，是否具有某个数m，使得n % m == 0。代码可以这么写：

int isPrime(int n) {  
    int i;  
    for (i = 2; i < n; ++i) {  
        if (n % i == 0) return 0;  
    }  
    return 1;  
} 

事实上，这个算法是O(n)的，感觉是很快了，但是依旧无法满足需求。所以有一个算法是O(sqrt(n))的算法。代码可以这么写：

int isPrime(long long n) {  
    long long i;  
    for (i = 2; i * i <= n; ++i) {  
        if (n % i == 0) return 0;  
    }  
    return 1;  
}  

原理很巧妙，也仅仅是把代码的i < n变成了i * i <= n而已，但是优化却是极其高的。可能你会注意到，在上一份代码里面，我定义的n为int类型，而后面一份代码，我却定义成了long long，这是因为在1s内，上一份代码能判断出来的数量级为1e8，而后面一份代码判断出来的数量级却几乎可以达到1e16。而原因仅仅是因为a * b = c的话一旦a是c的约数，那么b也是，如果a不是，那么b也不是。
这个方法也可以称作试除法。

二、Miller_Rabin素性测试

尽管上面的O(sqrt(n))的算法已经非常优秀了，但是面对更高数量级的“大数”却会显得力不从心。而这个时候，Miller_Rabin的优越性就显示出来了。
Miller_Rabin的理论基础来源于费马小定理。值得一提的是费马小定理是数论四大定理之一。

费马小定理：n是一个奇素数，a是任何整数(1≤ a≤n-1) ，则 a^(n-1)≡1(mod n)

要测试n是否是一个素数，首先将n-1分解为(2^s) * d，在每次测试开始时，先随机选择一个介于[1, N - 1]的整数a，之后如果对于所有的r∈[0, s - 1]，若a^d mod N ≠ 1且a^((2^r) * d) mod N ≠ -1，那么n就是一个合数，否则n有3/4的几率是素数。

这也是为什么说这个算法只是素性测试了，他不能完全保证结果正确，但是当测试次数大约为20的时候，基本可以确保正确率达到97%以上。
它的代码可以这么写：

const int S = 20;  
LL mod_mul(LL a, LL b, LL n) {  
    LL res = 0;  
    while (b) {  
        if (b & 1) res = (res + a) % n;  
        a = (a + a) % n;  
        b >>= 1;  
    }  
    return res;  
}  
LL mod_exp(LL a, LL b, LL n) {  
    LL res = 1;  
    while (b) {  
        if (b & 1) res = mod_mul(res, a, n);  
        a = mod_mul(a,