剪绳子（动态规划）

有一根长度为length的绳子，length为正整数，问怎样切分绳子才能使切分后每段绳子的乘积最大。比如当length为8时，最优切分为2,3,3，乘积为18。

测试用例：

功能测试：绳子长度大于5

边界测试：绳子长度为0,1,2,3,4

#include<iostream>

using namespace std;

int MaxProductAfterCut(int length)
{
    if(length<2)return 0;
    if(length==2)return 1;
    if(length==3)return 2;

    int* product=new int[length+1];
    product[0]=0
    product[1]=1;
    product[2]=2;
    product[3]=3;

    int Max=0;

    for(int i=4;i<=length;++i)
    {
        Max=0;
        for(int j=1;j<=i/2;++j)
        {
            int tmp=product[j]*product[i-j];
            if(Max<tmp)
                Max=tmp;

            product[i]=Max;
        }
    }

    Max=product[length];
    delete []product;

    return Max;
}

int main()
{
    cout<<MaxProductAfterCut(8)<<endl;
}

动态规划的四个特点：

1. 大问题可以分解为多个小问题，且每个小问题存在最优解。
2. 大问题的最优解依赖于小问题的最优解。
3. 小问题之间有重叠的更小问题。
4. 从上往下分析问题，从下往上解决问题。

先假设函数f(n)是各段乘积的最大值，在剪第一刀时会有n-1种方法，就是说第一段绳子的长度可能是1,2,3...n-1，所以f(n)=f(i)*f(n-i)，其中0<i<n。在这个问题中0~3的长度要特殊处理，直接返回最优值。定义数组product存放每段的最优解，但是注意product[0],product[1],product[2],product[3]特殊处理。