CF 895C-Square Subsets

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本文探讨了一个组合数学问题，即从一个包含重复元素的集合中选取若干元素，使其乘积为完全平方数的方案数。通过将相同元素合并并利用组合数与动态规划的方法，实现了高效算法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意简述

给你一个有n个元素的可重集(n<=1e5，元素大小<=70)，从这个集合中选出若干元素使得这些元素的积为完全平方数，求方案数mod 1e9+7

做法

注意到元素非常的小，70以内的质数只有19个，那么我们想到状压dp，f[i][j]表示到第i个数，前面有质因子的集合是j的方案数，转移是O( $2^{18}$ )，状态是 $2^{19}*n$ 的，会挂掉。
但是我们可以把所有相同的元素整到一起，那么我们只要考虑这个元素取奇数个或者偶数个，离散化之后num[i]表示i这个元素的的数量，我们以sum1[i]表示i这个元素选奇数个的方案数，那么 $sum1[i]=C(num[i],1)+C(num[i],3)+…+C(num[i],num[i]-1)$ 我们这里假定num[i]是个奇数，然后 $sum2[i]=C(num[i],0)+C(num[i],2)+…+C(num[i],num[i])$ 。
考虑sigma(num[i])==n，所以我们总复杂度是 $O(n*log(n))$
好了，预处理好这两个东西后我们进行dp
以k表示第i个元素的因子中出现奇数次的集合
$f[i][j]=f[i-1][j]*sum2[i]+f[i-1][{j}$ xor ${k}]*sum1$
最后答案为f[cnt][0]，其中cnt表示的就是离散化完的元素个数，复杂度 $70*2^{19}$

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#define LL long long
#define INF (2139062143)
#define N (1000001)
using namespace std;
int n,cnt,d;
int a[N];
LL sum1[N],sum2[N],ny[N],jc[N],nyjc[N];
int f[71][524300];
int ss[N]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67};
const int P=1000000007;
struct node{
    int data,num;
}b[N];
LL C(LL a,LL b){
    return jc[a]*nyjc[b]%P*nyjc[a-b]%P;
}
template <typename T> void read(T&t) {
    t=0;
    bool fl=true;
    char p=getchar();
    while (!isdigit(p)) {
        if (p=='-') fl=false;
        p=getchar();
    }
    do {
        (t*=10)+=p-48;p=getchar();
    }while (isdigit(p));
    if (!fl) t=-t;
}
int main(){
    read(n);
    for (int i=1;i<=n;i++) read(a[i]);
    sort(a+1,a+n+1);
    for (int i=1;i<=n;i++){
        if (i==1||a[i]!=a[i-1]){
            b[++cnt].data=a[i];
            b[cnt].num=1;
        }
        else b[cnt].num++;
    }
    jc[0]=1;
    for (int i=1;i<=100000;i++) jc[i]=jc[i-1]*i%P;
    ny[0]=ny[1]=nyjc[1]=nyjc[0]=1;
    for (int i=2;i<=100000;i++) ny[i]=(-(P/i)*ny[P%i]%P+P)%P,nyjc[i]=nyjc[i-1]*ny[i]%P;

    for (int i=1;i<=cnt;i++){
        for (int j=0;j<=b[i].num;j++){
            if (j&1) sum1[i]=(sum1[i]+C(b[i].num,j))%P;
            else sum2[i]=(sum2[i]+C(b[i].num,j))%P;
        }
    }

    f[0][0]=1;
    for (int i=1;i<=cnt;i++){
        int k=0;
        for (int j=0;j<=18;j++){
            int tt=b[i].data,qq=0;
            while (tt%ss[j]==0){
                qq++;
                tt/=ss[j];
            } 
            if (qq%2==1) k+=1<<j;
        }
        for (int j=0;j<=(1<<19)-1;j++){
            f[i][j]=(f[i][j]+1ll*f[i-1][j]*sum2[i]%P+1ll*f[i-1][j^k]*sum1[i])%P;
        }
    }
    printf("%d",f[cnt][0]-1);
    return 0;
}