最长递增子序列(longest increasing subsequence) 问题详解

最长递增子序列的定义：
按照序列元素的下标号，抽取一部分元素组成子序列，子序列中的元素之间为递增的关系（下标可以不连续）。其中长度最长的递增子序列就是最长递增子序列。

方法思想：
为了求出该数组的最长递增子序列，就需要先求出在以数组中每个元素为结尾的情况下，最长的递增子序列是什么样的。因此首先要申请一块二维数组空间，存放以各个元素为结尾情况下的最长递增子序列。

首先显然可知，以0号元素为结尾的子序列只有0号元素自己。然后计算以1号元素为结尾的子序列，以此类推。

当计算n号的元素对应的子序列时，可以用n号元素与n-1号子序列的末尾元素比较，若n号元素大，则n号元素 暂时 求出的子序列就是n-1号元素对应子序列再加上n号元素。然后，将n号元素与n-2号元素对应子序列做同样对比，依次计算下去，选择一个可以使n号元素的子序列最长的情况。

按照上述方法，依次计算每个元素对应的结果之后的子序列，选择一个长度最长的序列即为整个数组的最长递增子序列。
按照同样的道理可以求出最长递减子序列。

举例说明上述思想：
对于序列A{35, 36, 39, 3, 15, 27, 6, 42}当处理到最后一个元素42时，以35， 36， 39， 3， 15， 27， 6为最末元素的最长递增序列分别为：
35
35，36
35，36，39
3
3，15
3，15，27
3，6
下面来计算42元素对应的子序列，首先将42与上述子序列末尾元素比较大小，小于42时，将42加入上述序列末尾，比较各个序列的长度，选择长度最长的，如下：
35，42
35，36，42
35，36，39，42，
3，42
3，15，42
3，15，27，42
3，6，42
这其中最长的递增序列为(35，36，39，42)和(3，15，27，42)，所以序列A的最长递增子序列的长度为4，在A中长度为4的递增子序列不止一个。
则整个数组的最长递增子序列长度为4。

代码编写：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

void lis(int a[], vector<int> *vt, int len){
    for(int i = 0; i < len; i++){
        vt[i].push_back(a[i]);
        for(int j = i - 1; j >= 0; j--){
            if(a[i] > vt[j].back() && vt[j].size() > (vt[i].size()-1)){
            //选择长度最长的 
                vt[i] = vt[j];
                vt[i].push_back(a[i]);
            }
        }           
    }
}

//求序列 35, 36, 39, 3, 15, 27, 6, 42 的最长递增子序列 
int main(){
    int len = 8;
    int a[] = {35, 36, 39, 3, 15, 27, 6, 42};

    vector<int> *vt = new vector<int>[len];
    lis(a, vt, len);

    for(int i = 0; i < len; i++){
        for(int j = 0; j < vt[i].size(); j++){
            cout<<vt[i][j]<<' ';
        }
        cout<<endl;
    }

    return 0;
}