生成函数

1.普通生成函数$\text{OGF}$
对于无顺序的计数
$$f(x)=\sum _{i=0}{a}_i{x}^i$$
这里的$x$是形式幂级数，我们不关心$x$的具体取值，我们只关心系数，可以通过复分析证明可以无视收敛条件化简：${\sum }_{i=0}{x}^i=\frac{1}{1-x}$

$\text{Ex1 : 求出 Ai = i*i 的生成函数}$
考虑$f(x)={\sum }_{i=0}i{x}^i={\sum }_{i=1}{x}^i{\sum }_{j=0}{x}^j=\frac{x}{1-x}\cdot \frac{1}{1-x}$
$$\begin{gathered} \therefore A(x)=\sum _{i=0}i\ast i{x}^i=\sum _{i=0}(i-1)i{x}^i+i{x}^i \\ =\frac{x}{(1-x{)}^2}+\sum _{i=2}{x}^i\sum _{j=0}j{x}^j \\ =\frac{x}{(1-x{)}^2}+\frac{x^2}{1-x}\cdot \frac{x}{(1-x{)}^2}=\frac{x^3-x^2+x}{(1-x{)}^3} \end{gathered}$$

$A_n=2^n{x}^n$的生成函数：$\frac{1}{1-2x}$
A = { 1 , 0 , 1 , 0 , . . . . } A=\{1,0,1,0,....\} A={1,0,1,0,....}： $\frac{1}{1-x^2}$
A = { 0 , 1 , 0 , 1 , . . . . } A=\{0,1,0,1,....\} A={0,1,0,1,....}：$\frac{x}{1-x^2}$
$A_i=i-1$的生成函数：$\frac{\mathrm{d}(\frac{1}{1-x})}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{(1-x{)}^2}$

2.指数生成函数
对于有顺序的计数。
$f(x)={\sum }_{i=0}\frac{a_i{x}^i}{i!}$
卷积时自带排列。

$A_i=i!$的指数生成函数：$P(x)=\frac{1}{1-x}$
$A_i=(i-1)!$的指数生成函数：$C(x)=\ln \frac{1}{1-x}$
$P(x)=e^{C(x)}$
组合意义，排列（置换）可以分解成多个环排列。
错排方案数：$D(x)=e^{C(x)-x}=\frac{e^{-x}}{1-x}$，即多个没有自环的环排列。

关于多项式$exp(F(x))$的意义，其中$F(x)={\sum }_i{f}_i\frac{x^i}{i!}$：
$f_i$是有标号的计数。
$G(x)=exp(F(x))={\sum }_i\frac{F(x{)}^i}{i!}$
得出来的$G(x)={\sum }_i{g}_i\frac{x^i}{i!}$中，$g_i$也是有标号的计数。
那么$exp$中相当于 把$n$个标号分到$n$个点但是这 $n$个点分成了$i$个集合，每个集合内部的标号方案被$F(x)$限定住了，所以每个集合的点可以看作一样的点，$n$个点但是有相同颜色的点，给这些点分配标号。
$\frac{F(x{)}^i}{i!}$相当于提取出来把$n$个点分成$i$个集合，标号已经被上面的所述的指数函数的性质统计了，那么这$i$个集合实际上是没有顺序限制的，但是$F(x{)}^i$中是有顺序限制的（注意到因为要分配标号，所以$F(x)$中相同的两种分配标号方式在这一步是不同的）,直接除上$i!$。

3.FFT
4.循环卷积。
5.二维循环卷积
参考多维$\text{DFT}$

6.bluestein算法
https://blog.youkuaiyun.com/outer_form/article/details/52386685
计算n位循环卷积的方法。

$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}1163962801)$
这是1~22的$lcm$，他有2到22次单位根，可以直接在模意义下的环内用整数做$\text{DFT}$

7.单位根反演。
我博客里有。

一个图中，求走过步数i为$K$的倍数的路径的$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)$之和。
首先可以让每个点连一个自环，那么长度为i的路径到n时就会选择n-i个时刻走自环，那么就可以解决这个组合数了。
然后直接上单位根反演，把走一步后乘上$w_n^i,i\in [0,K-1]$ 加起来除以$K$就行了。

其实也可以矩阵中每个元素维护一个$K-1$次多项式，然后做长度为$K$的循环卷积，最后插值回去，并无大差异。

8.Polya生成函数
有一个长度为$n$的项链，$m$种颜色。
求对于颜色$i$用了$C_i$个的在旋转置换下的等价类数。
对于置换（移动$p$位）的不动点的生成函数：$f_p(x_1,x_2,x_3..x_m)=({\sum }_{i=1}^m{x}_i^{gcd(p,n)}{)}^{\frac{n}{gcd(p,n)}}$
对于等价类的生成函数:$F(x_1,x_2....x_m)=\frac{{\sum }_p{f}_p(x_1,x_2...x_m)}{n}$
算就是了。

9.多项式可以执行的操作
Ⅰ：多项式牛顿迭代：
对于$f(x)$展开一阶即认为$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\ast (x-x_0)$。
然后求$f(x)=0$的$x$的解。
$x=f^{\prime }(x_0)-\frac{f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}$
不断用$x_0$求出新的$x$，把$x_0=x$，如果$f(x)=0$则结束。
对于多项式我们来抽象的实现牛顿迭代。
$A(x)=f^{\prime }(B(x))-\frac{f(B(x))}{f^{\prime }(B(x))}$
每次多项式长度都会*2.
Ⅱ：多项式求逆：
$A(x)=\frac{1}{B(x)}$
注意把$A(x)-\frac{1}{B(x)}=0$牛顿迭代是有坑点的，需要特殊理解。
ⅠⅠⅠ：多项式除法。
$A(x)=B(x)C(x)+D(x)$
$A(\frac{1}{x})=B(\frac{1}{x})C(\frac{1}{x})+D(\frac{1}{x})$
$x^{deg(A)}A(\frac{1}{x})=x^{deg(B)}B(\frac{1}{x})x^{deg(C)}C(\frac{1}{x})+x^{deg(A)}D(\frac{1}{x})$
最后一项因为$deg(D)<deg(B)$所以在$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{deg(A)-deg(B)+1})$的意义下是0.
对于A，B，C都只相当于把多项式的系数反转。
那么就可以算出C，然后算出$D$.
Ⅳ：多项式多点求值：
对于$f(x)=su{m}_{i=0}^n{a}_i{x}^i$求$f(x_1),f(x_2)...f(x_m)$
设一个多项式$\pi (i,j)={\prod }_i^j(x-x_i)$
若$f(x)\equiv g(x)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\pi (1,k))$
所以因为$f(x_i)=f(x)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}x-x_i)=g(x_i)$
这样就可以类线段树分治，每次两个多项式取模把多项式次数减半。
V:多项式快速插值
用多项式科技优化拉格朗日插值。
发现可以直接分治，左半插值，右半插值，$f_{l,r}=f_{l,mid}{\pi }_{mid+1,r}+f_{mid+1,r}{\pi }_{l,mid}$ ，两个$\log$美滋滋。但是初值需要知道$y_i=\frac{F(x_i)}{{\prod }_{j!=i}(x_i-x_j)}$。
设$P_i(x)=\frac{{\prod }_j(x-x_j)}{(x-x_i)}$
那么$y_i=\frac{F(x_i)}{P_i(x_i)}$
那么我们就需要算出$P_i(x_i)$。
以小学生的素养知道分母为0 ，再用小学生就应该会的微积分中的洛必达法则得出$P_i(x_i)=\frac{({\prod }_j(x-x_j){)}^{\prime }}{-x_i}$
对分子多项式多点求值就行了。
$Ex1:分拆数$
求对于$n$的不下降可重分拆方案数。
不是五边形数的那个！！！！
推式子后$exp$
注意EGF的组合意义不要乱用。

…
开始线代？
范德蒙德矩阵
它的行列式${\prod }_{j<i}(x_i-x_j)$可以用巧妙一下用多点求值。

$\text{Ex2}$
给出$f(x)={\prod }_{i=0}^n(1-a_i{x}^i)$,$g(x)={\prod }_{i=0}^n(1-b_i{x}^i)$
求$h(x)={\prod }_{i=0}^n{\prod }_{j=0}^n(1-a_i{b}_j{x}^{i+j})$
泰勒展开$ln(f(x))={\sum }_{k>0}\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}{x}^k({\sum }_{i=0}^n{a}_i^k)$
$ln(h(x))={\sum }_{k>0}\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}{x}^k({\sum }_{i=0}^n{\sum }_{j=0}^n{a}_i^k{b}_j^k)$
解出${\sum }_{i=0}^n{a}_i^k$,${\sum }_{i=0}^n{b}_i^k$就可以直接推出$\ln (h(x))$

常系数线性递推。