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最新推荐文章于 2020-12-28 14:04:17 发布

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水题

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本文探讨了数论中的两个重要结论：斐波那契数列的最大公约数性质及幂次减一最大公约数的特性。通过巧妙的数学证明，展示了如何利用这些结论解决复杂算法问题，并附带了详细的AC代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

两个结论
gcd(fib(a),fib(b))=fib(gcd(a,b))
GCD FIB
gcd(2^a−1,2^b−1) = 2 ^ gcd(a,b)-1
这个我翻了一本初等数论书然后在第六页就找到了。。。。。。
具体来说通过
gcd(2^a−1,2^b−1)
=gcd(2^a - 1 - （2 ^ b - 1） * 2 ^ (a - b) , 2 ^ b - 1)
=gcd(2 ^ (a - b) - 1 , 2 ^ b - 1)
就可以像辗转相减一样证明了。
然后,枚举d，容斥求gcd（a1,a2,a3…ak）=d && sigma(ai) = n的解

AC Code:

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
#define maxn 2000005
using namespace std;
int fac[maxn],inv[maxn],invf[maxn],n,k;
inline int C(int n,int m){ return 1ll * fac[n] * invf[m] % mod * invf[n-m] % mod; }
int dp[maxn],F[maxn];
inline int cut(int a){ return a>=mod ? a-mod : a; }
inline int cut2(int a){return a>=(mod-1) ? a - (mod-1) : a; }
inline int Pow(int base,int k){ int ret=1;for(;k;k>>=1,base=1ll*base*base%mod) if(k&1) ret=1ll*ret*base%mod; return ret;}

int main()
{
    fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=invf[0]=invf[1]=F[1]=1;
    for(int i=2;i<maxn;i++)
        fac[i] = 1ll * fac[i-1] * i % mod,
        inv[i] = 1ll * (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod,
        invf[i] = 1ll * invf[i-1] * inv[i] % mod,
        F[i] = cut2(F[i-1] + F[i-2]);
    int T;
    ios::sync_with_stdio(false);
    for(cin>>T;T--;)
    {
        cin>>n>>k;
        int ans=0;
        for(int i=n;i>=1;i--)
        {
            dp[i] = 0;
            if(n%i==0)
            {
                dp[i] = C(n/i+k-1,k-1);
                for(int j=i+i;j<=n;j+=i)
                    dp[i] = cut(dp[i] - dp[j] + mod) % mod;
                ans = cut(ans + 1ll * (Pow(2,F[i])-1) * dp[i] % mod);
            }
        }
        printf("%lld\n",1ll*ans*Pow(C(n+k-1,k-1),mod-2)%mod);
    }
}