[HDU 3507] Print Article-优快云博客

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本文介绍了一个经典的动态规划问题——最小花费问题，并提供了两种解决方案：一种是朴素的O(N^2)DP方法，另一种是经过斜率优化后的O(N)算法。通过实际代码展示了如何高效解决该问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述：

给出N个数的权值，以及一个参数K.
每次取出一段数的花费为 sum[l-r]^2+k
求取出这些数的最小花费

题目分析：

$O(N^2) DP$
$dp[i]=min(dp[j]+(sum[i]-sum[j])^2)$
$O(N) 斜率优化$

dp[j]+sum[i]^2-2*sum[i]*sum[j]+sum[j]^2 < dp[k]+sum[i]^2-2*sum[i]*sum[k]+sum[k]^2 

dp[j]-dp[k]+sum[j]^2-sum[k]^2 < 2*sum[i]*sum[j]-2*sum[i]*sum[k]

(dp[j]+sum[j]^2-dp[k]-sum[k]^2)/(2*(sum[j]-sum[k]))<sum[i]

题目链接：

HDU 3507

AC 代码：

$O(N^2) DP$

#include <cstdio>
#include <iostream>
#define ll long long
const int maxm=1e6+100;
ll dp[maxm],sum[maxm];
int main()
{
    int n,k;
    while((scanf("%d%d",&n,&k))!=EOF)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%lld",&sum[i]);
            sum[i]+=sum[i-1];
            dp[i]=maxm;
        }
        dp[1]=sum[1]*sum[1]+k;
        for(int i=2;i<=n;i++)
         for(int j=1;j<i;j++)
          dp[i]=std::min(dp[i],dp[j]+(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j])+k);
        printf("%lld\n",dp[n]);
    }
    return 0;
}

$O(N)$

#include <cstdio>
#include <iostream>
#define ll long long
const int maxm=510000;
ll dp[maxm],sum[maxm];
int dl[maxm];
double slop(int k,int j)
{
    return (double)(dp[j]+sum[j]*sum[j]-dp[k]-sum[k]*sum[k])/(double)(2*(sum[j]-sum[k]));
}
int main()
{
    int n,k;
    while((scanf("%d%d",&n,&k))!=EOF)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%lld",&sum[i]);
            sum[i]+=sum[i-1];
            if(sum[i]==sum[i-1]) i--,n--;
        }
        int l=1,r=1;
        dp[0]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            while(l<r&&slop(dl[l],dl[l+1])<=sum[i]) l++;
            dp[i]=dp[dl[l]]+(sum[i]-sum[dl[l]])*(sum[i]-sum[dl[l]])+1ll*k;
            while(l<r&&slop(dl[r-1],dl[r])>slop(dl[r],i)) r--;
            dl[++r]=i;
        }
        printf("%lld\n",dp[n]);
    }
    return 0;
}