一维二维树状数组区间加与区间求和

在一般的情况下，对于区间加与区间求和，我们一般使用线段树。
树状数组在一般情况下，只能够单点查询，修改。
但是我们可以通过差分做到区间加或者区间求和（一维）
我们对于一个区间l,r，要求他们的和a[l]….a[r]。
设b[i]表示相邻两点之间的差(b[i]=a[i]-a[i-1])，那么对于sum(a[l]..a[r])
明显有sum(a[l]..a[r])=(b[1]+b[2]+….+b[l])+(b[1]+……b[l+1])+…..+(b[1]+…..b[r])
为了方便起见假设l=1,r=n，那么上面的式子可以化简为：
sum(b[1]…b[n])*(n+1)-sum(b[1]*1+b[2]*2+…b[n]*n)
至于为什么，自己手动化一下就知道了。
然后就把区间求和转化为维护单点的前缀和与b[i]*i.

区间加的原理相同，只不过把b的定义从差值改为增量而已。

代码如下，来自
http://www.cnblogs.com/zcyhhh/p/7142676.html?utm_source=itdadao&utm_medium=referral

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

long long n,m;
long long c1[200011],c2[200011];
long long a[200011],b[200011]; 

long long read()
{
    long long x=0,f=1;char c=getchar();
    while (!isdigit(c)) {if (c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while (isdigit(c)) {x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}

long long lowbit(long long x)
{
    return x&-x;
}

void update1(long long pos,long long v)
{
    while (pos<=n)
    {
        c1[pos]+=v;pos+=lowbit(pos);
    }
}

void update2(long long pos,long long v)
{
    while (pos<=n)
    {
        c2[pos]+=v;pos+=lowbit(pos);
    }
}

long long query1(long long pos)
{
    long long sum=0;
    while (pos)
    {
        sum+=c1[pos];pos-=lowbit(pos);
    }
    return sum;
}

long long query2(long long pos)
{
    long long sum=0;
    while (pos)
    {
        sum+=c2[pos];pos-=lowbit(pos);
    }
    return sum;
}

int main()
{
    n=read();
    for (long long i=1;i<=n;i++)
        a[i]=read();
    b[1]=a[1];
    for (long long i=2;i<=n;i++) b[i]=a[i]-a[i-1];
    for (long long i=1;i<=n;i++) update1(i,b[i]),update2(i,b[i]*i);
    m=read();
    for (long long i=1;i<=m;i++)
    {
        long long d=read(),x=read(),y=read(),v;
        if (d==1)
        {
            v=read();update1(x,v);update1(y+1,-v);update2(x,x*v);update2(y+1,-(y+1)*v);
        }
        else
        {
            long long tmp1,tmp2;tmp1=(y+1)*query1(y)-query2(y);tmp2=x*query1(x-1)-query2(x-1);
            cout << tmp1-tmp2 << "\n";
        }
    }
    return 0;
}

二维的稍微复杂一些，但是并不难，这里拿bzoj3132上帝造题的七分钟作为例子，题意是给出一个矩阵，有区间加和区间求和的操作。
这题也可以用二维线段树或者树套树做，但是代码常数大，而且比赛中容易挂= =代码复杂度高其实比赛中好像二维树状数组的应用更少（捂脸）。主要用途是卡常，个人感觉思想不错，有可能会有题目借鉴，所以需要掌握。

总共四个树状数组，用结构体封装一下效果会好很多：
代码（bzoj3132）

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
const int N=2105;
struct bit
{
    int a[N][N];
    inline int lowbit(int x)
    {
        return x&(-x);
    }
    inline void add(int x,int y,int t)
    {
        int i,j;
        for(i=x;i<N;i+=lowbit(i))
        {
            for(j=y;j<N;j+=lowbit(j))a[i][j]+=t;
        }
    }
    inline int get(int x,int y)
    {
        int ans=0;
        int i,j;
        for(i=x;i>0;i-=lowbit(i))
        {
            for(j=y;j>0;j-=lowbit(j))ans+=a[i][j];
        }
        return ans;
    }
}a,b,c,d;

int n,m;
inline void add(int x1,int y1,int x2,int y2,int t)
{
    a.add(x1,y1,t),a.add(x1,y2+1,-t);
    a.add(x2+1,y1,-t),a.add(x2+1,y2+1,t);

    b.add(x1,y1,t*x1); b.add(x2+1,y1,-t*(x2+1));
    b.add(x1,y2+1,-t*x1); b.add(x2+1,y2+1,t*(x2+1));

    c.add(x1,y1,t*y1); c.add(x2+1,y1,-t*y1);
    c.add(x1,y2+1,-t*(y2+1)); c.add(x2+1,y2+1,t*(y2+1));

    d.add(x1,y1,t*x1*y1); d.add(x2+1,y1,-t*(x2+1)*y1);
    d.add(x1,y2+1,-t*x1*(y2+1)); d.add(x2+1,y2+1,t*(x2+1)*(y2+1));
}
inline int get(int x,int y)
{
    return a.get(x,y)*(x+1)*(y+1)-b.get(x,y)*(y+1)-(x+1)*c.get(x,y)+d.get(x,y);
}
inline int get(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
    return get(x2,y2)-get(x2,y1-1)-get(x1-1,y2)+get(x1-1,y1-1);
}
int main()
{
    char op[2];
    scanf("%s",op);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    while (scanf("%s",op)!=-1)
    {
        int x1,y1,x2,y2,k;
        if (op[0]=='L')
        {
            scanf("%d%d",&x1,&y1);
            scanf("%d%d%d",&x2,&y2,&k);
            add(x1,y1,x2,y2,k);
        }
        else
        {
            scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
            printf("%d\n",get(x1,y1,x2,y2));
        }
    }
}