Day 3 网络流

Day3 电子笔记（网络流）：

备注：上午 网络流，下午 计算几何

线性规划（基于 单纯性 做法）可以代替网络流，但是难写、难理解

不需要 建模（比网络流好的地方），时间复杂度更玄学

Dinic 算法：

分层、多路增广，当前弧优化，复杂度：O（N²M）【主要是玄学，跑二分图特别快】

Dining（POJ 3281）

食物和饮料，S向牛连边，流量为1，饮料向T连边流量1，牛向食物连边，注意中间拆点

Collector’s Problem（UVA 10779）【必做】

每种贴纸建一个点，连边向T，流量为1，Bob从S出发，连边向贴纸，流量为贴纸数目，考虑交换：每个朋友建一个点，从Bob贴纸多的点出发，连边向朋友，朋友连边向自己多的贴纸，图中黑色点是 朋友

 

最小割：

定理：最小割==最大流

定义：删去一些边使得原图不连通，且要求山区的边权之和最小

NOI 2006 最大获利：

最后答案为 所有用户的收益和，减去建立中转站的费用

Course Selection（Codechef Dec 14）:

每个课程拆成M个点，求最小扣分，

这样就满足了前置课程，又保证了最小割是最少扣分。

Happiness BZOJ 2127

正解：PDF上有    二元组的思想，只需要先考虑他们两者之间的关系（你可以先假设只有两个点），进而得出整体图

费用流：

Dinic的BFS 用 SPFA 替换

剪刀石头布（BZOJ 2597）

无序三元组 问题，这样不好求，可以来搞不是这样的情况，不是这样的情况最小，一相减就是原来的情况最大

此题较难，回去好好整理。

NOI 2008 志愿者招募：

原题见课件或者上网搜

PDF上讲解很好、不整理

所有的网络流题 都可以用 单纯型法  求解

流量平衡思想汇报（流入一个点的流量恒等于流出流量），常用于带区间的一些问题，可以推一些不等式、或者等式什么的。

BZOJ 1001 狼爪兔子：

最小费用 转 最短路

粉红色的线表示 割掉 红色边  粉红色变的权值等于其割掉的红色边得权值

Annual Parade(codechef PARADE)：

Floyd 求出 任意两点之间的最短路，然后、、、、、、、

这个题 彻底听蒙蔽了~~~~  木治啊~~

k-Maximum Subsequence Sum(cf 280D)：

题目大意：

给定一个长度为N的序列，共有M次操作。操作有两种：

1.    将数列中第i个元素改为X

2.    要在[l,r]中选出至多K个不相交的连续子数列，最所选出的所有数的和最大是多少。

n,m<=10⁵,k<=20

正解：网络流证明正确性（有些难想）、支持区间取反的线段树维护（记录一下即可，暴力，并不需要可持久化）

线段树记录四个值：区间中最大值是多少（max），左边必须贴着左端点的最大值（lmax）,另一个记录rmax，取反标记

上、下界网络流：

无源汇可行流：

从T到S连一条正无穷的边（这是上界，下界设为0），先来一遍可行流，然后在原图上再跑一边最大流。

首先建立一个源ss和一个汇tt，一般称为附加源和附加汇。

　　对于图中的每条弧<u,v>，假设它容量上界为c，下界b，那么把这条边拆为三条只有上界的弧。

　　一条为<ss,v>，容量为b；

　　一条为<u,tt>，容量为b；

　　一条为<u,v>，容量为c−b。

　　其中前两条弧一般称为附加弧。

　　然后对这张图跑最大流，以ssss为源，以tttt为汇，如果所有的附加弧都满流，则原图有可行流。

　　这时，每条非附加弧的流量加上它的容量下界，就是原图中这条弧应该有的流量。

理解方法：

　　对于原图中的每条弧，我们把c−b称为它的自由流量，意思就是只要它流满了下界，这些流多少都没问题。

　　既然如此，对于每条弧<u,v>，我们强制给v提供b单位的流量，并且强制从u那里拿走b单位的流量，这一步对应着两条附加弧。

　　如果这一系列强制操作能完成的话，也就是有一组可行流了。

　　注意：这张图的最大流只是对应着原图的一组可行流，而不是原图的最大或最小流。（也许会相等，只是也许）

有源汇：

有源汇之可行流：

建模方法：

　　建立弧<t,s>，容量下界为0，上界为∞。

　　然后对这个新图（实际上只是比原图多了一条边）按照无源汇可行流的方法建模，如果所有附加弧满流，则存在可行流。

　　求原图中每条边对应的实际流量的方法，同无源汇可行流，只是忽略掉弧<t,s><t,s>就好。

　　而且这时候弧<t,s>的流量就是原图的总流量。

　　理解方法：

　　有源汇相比无源汇的不同就在于，源和汇是不满足流量平衡的，那么连接<t,s>之后，源和汇也满足了流量平衡，就可以直接按照无源汇的方式建模。

　　注意：这张图的最大流只是对应着原图的一组可行流，而不是原图的最大或最小流。

有源汇之最大流：

建模方法：

　　首先按照有源汇可行流的方法建模，如果不存在可行流，更别提什么最大流了。

　　如果存在可行流，那么在运行过有源汇可行流的图上（就是已经存在流量的那张图，流量不要清零），跑一遍从s到t的最大流（这里的s和t是原图的源和汇，不是附加源和附加汇），就是原图的最大流。

　　理解方法：

　　为什么要在那个已经有了流量的图上跑最大流？因为那张图保证了每条弧的容量下界，在这张图上跑最大流，实际上就是在容量下界全部满足的前提下尽量多得获得“自由流量”。

注意，在这张已经存在流量的图上，弧<t,s>也是存在流量的，千万不要忽略这条弧。因为它的相反弧<s,t>的流量为<t,s>的流量的相反数，且<s,t>的容量为0，所以这部分的流量也是会被算上的。

有源汇之最小流：

建模方法：

　　首先按照有源汇可行流的方法建模，但是不要建立<t,s><t,s>这条弧。

　　然后在这个图上，跑从附加源ss到附加汇tt的最大流。

　　这时候再添加弧<t,s>，下界为0，上界为∞。

　　在现在的这张图上，从ss到tt的最大流，就是原图的最小流。

理解方法：

　　我们前面提到过，有源汇可行流的流量只是对应一组可行流，并不是最大或者最小流。

　　并且在跑完有源汇可行流之后，弧<t,s>的流量就是原图的流量。

　　从这个角度入手，我们想让弧<t,s>的流量尽量小，就要尽量多的消耗掉那些“本来不需要经过<t,s>”的流量。

　　于是我们在添加<t,s>之前，跑一遍从ss到tt的最大流，就能尽量多的消耗那些流量啦QwQ。