染色法


bool bicolorable(){//染色法   方镪
    queue<int>Q;
    color[0]=1;
    Q.push(0);
    while(!Q.empty()){
        int v1 = Q.front();
        Q.pop();
        for(int i=0;i<G[v1].size();i++)
        {
            int v2 =G[v1][i];
            if(color[v2]==0){ //情况1
                color[v2]=-color[v1];
                Q.push(v2);
            }
            else if(color[v2]==color[v1]){ //情况2
                return false;
            }
        }
    }
    return true;
}

 int bipartite(int s) {    王琦
        int u, v;  
        queue<int>Q;  
        color[s] = 1;  
        Q.push(s);  
        while (!Q.empty()) {  
            u = Q.front();  
            Q.pop();  
            for (int i = 0; i < G[u].size(); i++) {  
                v = G[u][i];  
                if (color[v] == 0) {  
                    color[v] = -color[u];  
                    Q.push(v);  
                }  
                else if (color[v] == color[u])  
                    return 0;  
            }  
        }  
        return 1;  
    }  
### 二分图染色法的原理解释 二分图是指能够将所有顶点划分为两个互不相交的子集 \( U \) 和 \( V \),使得每条边的一个端点属于 \( U \),另一个端点属于 \( V \)[^3]。为了验证一个给定的无向图是否为二分图,可以通过 **染色法** 实现。 #### 染色法的核心思想 染色法通过为图中的每个节点分配两种不同颜色(通常称为红色和蓝色)来检测是否存在冲突。具体来说: - 初始状态下,所有节点均未被染色。 - 随机选取一个未染色的节点并赋予其一种颜色(例如红色)[^1]。 - 对于已染色的节点,尝试为其所有邻居节点赋上与其相反的颜色(例如,如果当前节点是红色,则邻居应为蓝色)[^2]。 - 如果在上述过程中发现某个节点已经被染上了与预期不符的颜色,则表明该图无法构成二分图。 #### 算法实现细节 染色过程可以借助深度优先搜索 (DFS) 或广度优先搜索 (BFS) 完成。以下是基于 DFS 的伪代码示例: ```python def is_bipartite(graph, node, colors): stack = [(node, 0)] # 起始节点及其初始颜色(假设为0) while stack: current_node, color = stack.pop() if colors[current_node] != -1: # 当前节点已被访问过 if colors[current_node] != color: # 发生颜色冲突 return False continue colors[current_node] = color # 给当前节点染色 for neighbor in graph[current_node]: stack.append((neighbor, 1 - color)) # 将邻居节点压入栈,并准备染反色 return True ``` 在此基础上,对于整个图而言,需逐一处理尚未染色的部分连通分支,直到完成全部节点的检查为止。 #### 时间复杂度分析 由于每次仅需遍历一次图的所有边以及顶点即可完成判断操作,因此总体时间复杂度为 \( O(V + E) \),其中 \( V \) 表示顶点数量而 \( E \) 是边的数量。 --- ###
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