(笔记整合)字符串匹配基础

一、BF算法

BF算法中的BF是Brute Force的缩写，中文叫作暴力匹配算法，也叫朴素匹配算法。从名字可以看出，这种算法的字符串匹配方式很“暴力”，当然也就会比较简单、好懂，但相应的性能也不高。

在字符串A中查找字符串B，那字符串A就是主串，字符串B就是模式串。把主串的长度记作n，模式串的长度记作m。因为是在主串中查找模式串，所以n>m。

作为最简单、最暴力的字符串匹配算法，BF算法的思想可以用一句话来概括，那就是，我们在主串中，检查起始位置分别是0、1、2…n-m且长度为m的n-m+1个子串，看有没有跟模式串匹配的。

BF算法的时间复杂度很高，是O(n*m)，但在实际的开发中，它却是一个比较常用的字符串匹配算法。为什么这么说呢?

• 第一，实际的软件开发中，大部分情况下，模式串和主串的长度都不会太长。而且每次模式串与主串中的子串匹配的时候，当中途遇到不能匹配的字符的时候，就可以就停止了，不需要把m个字符都比对一下。所以，尽管理论上的最坏情况时间复杂度是O(n*m)，但是，统计意义上，大部分情况下，算法执行效率要比这个高很多。
• 第二，朴素字符串匹配算法思想简单，代码实现也非常简单。简单意味着不容易出错，如果有bug也容易暴露和修复。在工程中，在满足性能要求的前提下，简单是首选。

二、RK算法

RK算法的全称叫Rabin-Karp算法，是由它的两位发明者Rabin和Karp的名字来命名的。

RK算法的思路是这样的：通过哈希算法对主串中的n-m+1个子串分别求哈希值，然后逐个与模式串的哈希值比较大小。如果某个子串的哈希值与模式串相等，那就说明对应的子串和模式串匹配了（这里先不考虑哈希冲突的问题）。因为哈希值是一个数字，数字之间比较是否相等是非常快速的，所以模式串和子串比较的效率就提高了。

通过哈希算法计算子串的哈希值的时候，我们需要遍历子串中的每个字符。尽管模式串与子串比较的效率提高了，但是，算法整体的效率并没有提高。有没有方法可以提高哈希算法计算子串哈希值的效率呢？
这就需要哈希算法设计的非常有技巧了。假设要匹配的字符串的字符集中只包含K个字符，可以用一个K进制数来表示一个子串，这个K进制数转化成十进制数，作为子串的哈希值。

比如要处理的字符串只包含a～z这26个小写字母，那就用二十六进制来表示一个字符串。把a～z这26个字符映射到0～25这26个数字，a就表示0，b就表示1，以此类推，z表示25。

这种哈希算法有一个特点，在主串中，相邻两个子串的哈希值的计算公式有一定关系。

这里有一个小细节需要注意，那就是26^(m-1)这部分的计算，我们可以通过查表的方法来提高效率。我们事先计算好26⁰、26¹、26²……26^(m-1)，并且存储在一个长度为m的数组中，公式中的“次方”就对应数组的下标。当我们需要计算26的x次方的时候，就可以从数组的下标为x的位置取值，直接使用，省去了计算的时间。

整个RK算法包含两部分，计算子串哈希值和模式串哈希值与子串哈希值之间的比较。第一部分，前面也分析了，可以通过设计特殊的哈希算法，只需要扫描一遍主串就能计算出所有子串的哈希值了，所以这部分的时间复杂度是O(n)。
模式串哈希值与每个子串哈希值之间的比较的时间复杂度是O(1)，总共需要比较n-m+1个子串的哈希值，所以，这部分的时间复杂度也是O(n)。所以，RK算法整体的时间复杂度就是O(n)。

三、BM算法

1.BM算法的核心思想
把模式串和主串的匹配过程，看作模式串在主串中不停地往后滑动。当遇到不匹配的字符时，BF算法和RK算法的做法是，模式串往后滑动一位，然后从模式串的第一个字符开始重新匹配。BM算法则是当模式串和主串某个字符不匹配的时候，能够跳过一
些肯定不会匹配的情况，将模式串往后多滑动几位。

2.BM算法原理分析
BM算法包含两部分，分别是坏字符规则（bad character rule）和好后缀规则（good suffix shift）。

坏字符规则：
BM算法的匹配顺序比较特别，它是按照模式串下标从大到小的顺序，倒着匹配的。
从模式串的末尾往前倒着匹配，当我们发现某个字符没法匹配的时候。我们把这个没有匹配的字符叫作坏字符（主串中的字符）。
拿坏字符c在模式串中查找，发现模式串中并不存在这个字符，也就是说，字符c与模式串中的任何字符都不可能匹配。这个时候，我们可以将模式串直接往后滑动三位，将模式串滑动到c后面的位置，再从模式串的末尾字符开始比较。

这个时候，模式串中最后一个字符d，还是无法跟主串中的a匹配，这个时候，还能将模式串往后滑动三位吗？答案是不行的。因为这个时候，坏字符a在模式串中是存在的，模式串中下标是0的位置也是字符a。这种情况下，可以将模式串往后滑动两位，让两个a上下对齐，然后再从模式串的末尾字符开始，重新匹配。
当发生不匹配的时候，把坏字符对应的模式串中的字符下标记作si。如果坏字符在模式串中存在，我们把这个坏字符在模式串中的下标记作xi。如果不存在，我们把xi记作-1。那模式串往后移动的位数就等于si-xi。（注意，我这里说的下标，都是字符在模式串的下标）。

利用坏字符规则，BM算法在最好情况下的时间复杂度非常低，是O(n/m)。比如，主串是aaabaaabaaabaaab，模式串是aaaa。每次比对，模式串都可以直接后移四位，所以，匹配具有类似特点的模式串和主串的时候，BM算法非常高效。

不过，单纯使用坏字符规则还是不够的。因为根据si-xi计算出来的移动位数，有可能是负数，比如主串是aaaaaaaaaaaaaaaa，模式串是baaa。不但不会向后滑动模式串，还有可能倒退。所以，BM算法还需要用到“好后缀规则”。

好后缀规则：
好后缀规则实际上跟坏字符规则的思路很类似。当模式串滑动到图中的位置的时候，模式串和主串有2个字符是匹配的，倒数第3个字符发生了不匹配的情况。

这个时候该如何滑动模式串呢？当然，还可以利用坏字符规则来计算模式串的滑动位数，不过，也可以使用好后缀处理规则。好后缀规则是怎么工作的？
把已经匹配的bc叫作好后缀，记作{u}。拿它在模式串中查找，如果找到了另一个跟{u}相匹配的子串{u*}，那我们就将模式串滑动到子串{u*}与主串中{u}对齐的位置。

当模式串中不存在等于{u}的子串时，直接将模式串滑动到主串{u}的后面。这样做是否有点太过头呢？看下面这个例子。这里面bc是好后缀，尽管在模式串中没有另外一个相匹配的子串{u*}，但是如果将模式串移动到好后缀的后面，如图所示，那就会错过模式串和主串可以匹配的情况。

所以，针对这种情况，不仅要看好后缀在模式串中，是否有另一个匹配的子串，还要考察好后缀的后缀子串，是否存在跟模式串的前缀子串匹配的。
所谓某个字符串s的后缀子串，就是最后一个字符跟s对齐的子串，比如abc的后缀子串就包括c, bc。所谓前缀子串，就是起始字符跟s对齐的子串，比如abc的前缀子串有a，ab。从好后缀的后缀子串中，找一个最长的并且能跟模式串的前缀子串匹配的，假设是{v}，然后将模式串滑动到如图所示的位置。

可以分别计算好后缀和坏字符往后滑动的位数，然后取两个数中最大的，作为模式串往后滑动的位数。这种处理方法还可以避免前面提到的，根据坏字符规则，计算得到的往后滑动的位数，有可能是负数的情况。

BM算法的性能分析及优化：
先来分析BM算法的内存消耗。整个算法用到了额外的3个数组，其中bc数组的大小跟字符集大小有关，suffix数组和prefix数组的大小跟模式串长度m有关。

如果处理字符集很大的字符串匹配问题，bc数组对内存的消耗就会比较多。因为好后缀和坏字符规则是独立的，如果运行的环境对内存要求苛刻，可以只使用好后缀规则，不使用坏字符规则，这样就可以避免bc数组过多的内存消耗。不过，单纯使用好后缀规则的BM算法效率就会下降一些了。

总结：
1、要有优化意识，前面的 BF，RK 算法已经能够满足我们需求了，为什么发明 BM 算法？是为了减少时间复杂度，但是带来的弊端是，优化代码变得复杂，维护成本变高。
2、需要查找，需要减少时间复杂度，应该想到什么？散列表。
3、如果某个表达式计算开销比较大，又需要频繁的使用怎么办？预处理，并缓存。