【BZOJ 3560】【数论】DZY Loves Math V

最新推荐文章于 2020-01-21 11:47:15 发布

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分类专栏：数论数论-欧拉函数文章标签：数论欧拉函数积性函数

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_35479641/article/details/55824642

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数论-欧拉函数

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本文解析了一道涉及欧拉函数的数学计算题，通过质因数分解和前缀和预处理的方法，给出了详细的解题思路及C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：

给定n个正整数a1,a2,…,an，求下方式子的值（答案模10^9+7）。
来自BZOJ

题目解析：

首先，因为欧拉函数是积性函数，对于每一个 $\phi(i_1i_2i_3...i_n)$ 我们可以将其分解质因数，对于质因数 $p$ ， $b_i$ 表示 $a_i$ 中质因数 $p$ 的数量。
方程变成

Π p (\sum i 1 = 0 b 1 \sum i 2 = 0 b 2 . . . \sum i n = 0 b n p \sum n j = 1 i j - 1) * p - 1 p + 1

$\Pi_p(\sum_{i_1=0}^{b_1}\sum_{i_2=0}^{b_2}...\sum_{i_n=0}^{b_n}p^{\sum_{j=1}^{n}i_j}-1)*\frac {p-1}{p}+1$
本来欧拉函数求筛法时某一个质数第一次出现乘

p−1 $p-1$ ，其他的乘

p $p$ ，这里我们把

p−1 $p-1$ 先换成

p $p$ ，统计完再换回来。至于那个减一是因为

ϕ(1) $\phi(1)$ 被统计了，故减去。
再次变换就可以得到：

Π p (Π N i = 1 \sum j = 0 b i (p j) - 1) * p - 1 p + 1

$\Pi_p(\Pi_{i=1}^{N}\sum_{j=0}^{b_i}(p^j)-1)*\frac{p-1}{p}+1$
于是我们只需要预处理出

pj $p^j$ 的前缀和，然后枚举因数统计即可。

/**************************************************************
    Problem: 3560
    User: szpszp
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:4344 ms
    Memory:15356 kb
****************************************************************/

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define MAXN 100000
#define MAXM
#define INF 0x3f3f3f3f
typedef long long int LL;
const LL MOD = 1000000007ll;

template<class T>
void Read(T &x){
    x=0;char c=getchar();bool flag=0;
    while(c<'0'||'9'<c){if(c=='-')flag=1;c=getchar();}
    while('0'<=c&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    if(flag)x=-x;
}

struct node{
    LL num,cnt;
    bool operator < (const node &a)const{
        if(num!=a.num)return num<a.num;
        else return cnt<a.cnt;
    }
};

int N;
node tmp[MAXN*9+10];
int len;

void Get_Divisor(int x){
    for(int i=2;i*i<=x;++i)
        if(x%i==0){
            tmp[++len].num=i;
            do{
                ++tmp[len].cnt;
                x/=i;
            }while(x%i==0);
        }
    if(x!=1)tmp[++len].num=x,tmp[len].cnt=1;
}

LL ksm(LL a,LL p){
    LL rn=1;
    while(p){
        if(p&1)rn=(rn*a)%MOD;
        a=(a*a)%MOD;
        p>>=1;
    }
    return rn;
}

LL sum[30];
LL GetAns(int l,int r){
    LL p=tmp[l].num;
    LL rn=1;
    sum[0]=1;
    for(int i=1;i<=tmp[r].cnt;++i)
        sum[i]=sum[i-1]*p%MOD;
    for(int i=1;i<=tmp[r].cnt;++i)
        sum[i]=(sum[i]+sum[i-1])%MOD;
    for(int i=l;i<=r;++i)
        rn=(rn*sum[tmp[i].cnt])%MOD;

    --rn;
    rn=(rn*ksm(p,MOD-2))%MOD;
    rn=(rn*(p-1)+1)%MOD;

    return rn;
}

int main(){
    Read(N);
    int x;
    for(int i=1;i<=N;++i){
        Read(x);
        Get_Divisor(x);
    }

    sort(tmp+1,tmp+len+1);

    LL ans=1;
    int last=1;
    for(int i=1;i<=len;++i){
        if(i==len||tmp[i].num!=tmp[i+1].num){
            ans=(ans*GetAns(last,i))%MOD;
            last=i+1;
        }
    }

    printf("%lld\n",(ans%MOD+MOD)%MOD);
}