投影矩阵到视锥体平面

投影矩阵到视锥体平面

描述：在进入渲染管线前，对场景进行剔除，对性能的提升很大。我通过投影矩阵得到视锥体的六个面，然后根据模型相对于视锥体的位置进行剔除。那么如何通过投影矩阵获的那六个面呢？

步骤描述

1. 相关参数：假设世界坐标系下点 p 的齐次坐标（X, Y, Z, W）, 点 p 在规范化设备坐标系下映射点 p’（X’, Y’, Z’）。
2. 世界坐标系到规范化设备坐标系：
   世界坐标系下点 p，进过投影（乘以投影矩阵M），得到点在投影坐标系下的点 Mp。然后经过规范（乘以规范化矩阵A）,得到AMp。
   假设： AMp = （aX, bY, cZ, dW）
   那么（X’, Y’, Z’）= （aX/dW, bY/dW, cZ/dW）

//AM为投影规范化矩阵
AM = { a0,   a1,    a2,   a3
	   a4,   a5,    a6,   a7
	   a8,   a9,    a10,  a11
	   a12,  a13,   a14,  a15}
	   
AMp=（aX, bY, cZ, dW）=
    { a0X + a4Y + a8Z + a12W
	  a1X + a5Y + a10Z + a13W
	  a2X + a6Y + a11Z + a14W
	  a3X + a7Y + a12Z + a15W}

3. 在规范设备坐标系下：
   Left Plane: x’ = -1
   Left Plane: x’ = -1
   Right Plane: x’ = 1
   Top Plane: y’ = 1
   Bottom Plane: y’ = -1
   Near Plane: z’ = -1
   Far Plane: z’ = 1
   这些面就是将视锥体平面映射后的规范六面体（映射过程如下图）
   

4. 点p’满足：
   -1 < X’ < 1
   -1 < Y’ < 1
   -1 < Z’ < 1
   推导出：
   -1 < aX/dW < 1
   -1 < bY/dW < 1
   -1 < cZ/dW < 1
   继续推导：
   -dW < aX, aX < dW
   -dW < bY, bY < dW
   -dW < cZ, cZ < dW
   就-dW < aX,推到 -（ a3X + a7Y + a12Z + a15W）<a0X + a4Y + a8Z + a12W
   得到（a0 + a3）X + (a4 + a7)Y + (a8 + a12)Z + (a12 + a15)d < 0
   可得，当X’ = -1 时为视锥平面，
   （a0 + a3）X + (a4 + a7)Y + (a8 + a12)Z + (a12 + a15)d = 0为视锥体面的平面方程。
   这是面的一般表达式，可以转化为方向量加到原点距离的表达式：
   向量（（a0 + a3），(a4 + a7)， (a8 + a12)），
   距离：| (a12 + a15)|/sqrt(（a0 + a3^ 2 + (a4 + a7)^2 + (a8 + a12) ^ 2)
   此方法的具体实现可以参见three.js Frustum的setFromMatrix（）方法。

其他5各面的平面方程同理可得（在此不细写）。