javascript浮点数介绍

介绍

单精度浮点数32位，双精度浮点数64位。其中单精度由1位符号位，8位指数位，23位尾数位组成。双精度由1位符号位，11位指数位，52位尾数位组成。

图示

以64位浮点数为例，sign表示符号位用S表示，exponent表示指数位用E表示，mantissa表示尾数用M表示。

浮点数形式

规格化：当指数位E不全为0也不全为1时就是规格化形式浮点数

非规格化：当指数位E全为0时就是非规格化形式浮点数

特殊数值：当指数位E全是1时就是特殊数值，当尾数M全是0时表示无穷大，当符号位S等于1时就是负无穷大。若尾数M不全是0，那么这个数不是一个合法的实数，也就是NaN。

尾数之前其实还有一个隐藏位。尾数部分其实是小数部分，.xxxxx是52位二进制小数，如果浮点数形式是规格化隐藏位就是1，非规格化就是0。

用s、e、m分别代表符号位、指数位、尾数位的实际值，n代表浮点数，公式为：
$$n=(-1{)}^s\times m\times 2^e\text{\hspace{1em}(1)}$$

特殊数值

特殊数值可以表示正负无穷大以及NaN。

符号位S(1)	指数位E(11)	尾数位M(52)	结果
0	全是1	全是0	Infinity
1	全是1	全是0	-Infinity
0或1	全是1	不全是0	NaN

规格化

规格化形式的尾数的实际值是1.M。指数E不全为0并且不全为1。

当尾数M全为0时最小，当尾数全为1时最大。所以
$$1.0\le (m=1.M)\le 2-2^{-52}\text{\hspace{1em}(2)}$$

提示：当尾数52位全为1时，再加上2^(-52)就等于2。

1.M是一个二进制小数，假设将小数点后移52位，那1.M就是一个二进制整数。所以最大安全整数就是(2 - 2^(-52)) * 2^52，改个符号位就是最小安全整数。

如果超出尾数M的精度范围就不能连续表示了，比如：

let a = 9007199254740991;  // 最大安全整数
a + 1 == a + 2;  // true

因为指数E不全为0也不全为1，所以
$$1\le E\le 2^{11}-2\text{\hspace{1em}(3)}$$
指数的实际值 e 被解释为偏置形式的数，偏移量用bias表示
{ b i a s = 2 E 的 宽 度 − 1 − 1 e = E − b i a s (4) \lbrace^{e = E - bias}_{bias = 2^{E的宽度-1} - 1} \tag{4} {bias=2E的宽度−1−1e=E−bias​(4)
所以偏移量bias = 2^(11 - 1) - 1 = 1023，所以 e = E - 1023
$$n=(-1{)}^S\times 1.M\times 2^{E-1023}\text{\hspace{1em}(5)}$$
不算符号位，n的最大值是 (2 - 2^(-52)) * 2^1023 也就是最大浮点数。

最小值是1.0 * 2^(-1022)。

非规格化

非规格化的尾数是0.M。指数E全为0。

当尾数M全为0时最小，当尾数全为1时最大。所以
$$0\le (m=0.M)\le 1-2^{-52}\text{\hspace{1em}(6)}$$
指数E全是0，e的偏置形式为
$$e=1-bias=-1022\text{\hspace{1em}(7)}$$

$$n=(-1{)}^S\times 0.M\times 2^{-1022}\text{\hspace{1em}(8)}$$

当M全是0时，n等于0。

当M不全是0时，不算符号位，n的最小值是 2^(-52) * 2^(-1022) 也就是最小浮点数。最大值是 (1 - 2^(-52)) * 2^(-1022)。

总结

浮点数形式	指数E(11)	尾数M(52)	浮点数值	范围(不考虑符号位)
非规格化	全是0	全是0	0	0
非规格化	全是0	不全为0	公式(8)	2^(-52) * 2^(-1022) ~ (1 - 2^(-52)) * 2^(-1022)
规格化	不全为0也不全为1	任意值	公式(5)	2^(-1022) ~ (2 - 2^(-52)) * 2^1023
特殊数值	全是1	全是0	无穷大	无穷大
特殊数值	全是1	不全为0	NaN	NaN