[Atcoder Yahoo Contest 2019]E.Odd Subrectangles(思维+线性基)

本文介绍了一种巧妙的方法来解决01矩阵中子集异或和为1的问题，通过线性基算法统计子集异或和为0的个数，并结合组合数学原理，最终求得总方案数。时间复杂度为O(n^3/w)，使用bitset进行优化。

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题面

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翻译有时间再补…

题解

很巧妙的一道题。
在此特别感谢一下SovietPower的博客文章。

首先这是一个01矩阵，因此可以将和的奇偶性看成是异或和是否为1。
~~按照题解的套路~~，假如我们已经选好了一些列。
这样的话我们可以确定每行的异或和是 $0$ 还是 $1$ 。
设有 $a$ 行异或和为 $1$ ， $b$ 行异或和为 $0$ ，显然有 $a + b = m$ 。
题目要求总异或和为 $1$ ，可以在 $a$ 行中选奇数行， $b$ 列中随便选。
$a$ 行中选奇数行的方案数是: $C^{1}_{a}+C^{3}_{a}+...=2^{a-1}$ (可以查一下杨辉三角的性质)
因此确定一些列的方案数是 $2^{a-1}*2^b=2^{m-1}$ .
但是如果 $a = 0$ 时，是不满足条件的。
考虑统计这些不合法的情况。
可以转换为将每一行都看成一个二进制数列，统计一下其中子集异或和为0的个数。
这是可以用线性基解决的经典问题。
根据线性基的结论，在线性基里选取任意子集的异或和都不为0。
设线性基的大小为 $r$ ，那么异或等于零的个数就是 $2^{n-r}$
那么总答案就是 $2^n-2^{n-r})*2^{m-1}$ 。
二进制数列可以用bitset优化一下。
因此时间复杂度为 $O(\frac{n^3}{w})$ 。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<bitset>
using namespace std;
#define MAXN 300
#define MOD 998244353
int n,m;
bitset<MAXN+5> A[MAXN+5],B[MAXN+5];
int read()
{
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
	return x*f; 
}
int fst_pow(int a,int b)
{
	int res=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)res=(1LL*res*a)%MOD;
		a=(1LL*a*a)%MOD;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
		A[i][j]=(read()==1);
	int r=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
		if(A[i][j])
		{
			if(B[j][j])A[i]^=B[j];
			else
			{B[j]=A[i];r++;break;}
		}
	printf("%d",(fst_pow(2,n+m-1)-fst_pow(2,n-r+m-1)+MOD)%MOD);
}