泊松抠图：Poisson Matting

Poisson Matting

泊松抠图是著名的交互式抠图算法，已经被广泛应用于图像处理的各个领域当中。

Global Poisson matting

抠图即是从复杂场景中精准的抠出目标物体用于后续处理，将抠图问题做如下数学定义：
$$I=\alpha F+(1-\alpha )B\text{\hspace{1em}(1)}$$
将图像$I(x,y)$看做是背景图像$B(x,y)$与前景$F(x,y)$按照权重$\alpha (x,y)$融合得到的，抠图即是从图像$I$中计算得到权重$\alpha$的过程，本文的核心思想即是通过求解泊松方程完成上式方程的求解，取上式的微分形式：
$$\nabla I=(F-B)\nabla \alpha +\alpha \nabla F+(1-\alpha )\nabla B\text{\hspace{1em}(2)}$$
其中$\nabla =\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y}\right)$为梯度算子，假设背景图像$B$和前景图像$F$本身是足够平滑的，那么上式中$\alpha \nabla F+(1-\alpha )\nabla B$相对较小，可以做如下近似：
$$\nabla \alpha \approx \frac{1}{F-B}\nabla I\text{\hspace{1em}(3)}$$
这意味着权重图$\alpha$的梯度与图像$I$的梯度成正比，如下图所示，预先定义图像的前景区域${\Omega }_F$、背景区域${\Omega }_B$、未知区域$\Omega$，对于图像中的任意一点$p=(x,y)$，$I_p$表示当前点的像素值，$F_p、B_p$分别表示前景区域、背景区域像素值，则对未知区域的边界做如下定义:
∂ Ω = { p ∈ Ω F ∪ Ω B ∣ N p ∩ Ω ≠ ⊘ } (4) \partial \Omega=\left\{p \in \Omega_{F} \cup \Omega_{B} \mid N_{p} \cap \Omega \neq\oslash\} \right.\tag{4} ∂Ω={ p∈ΩF​∪ΩB​∣Np​∩Ω