方程求根：二分法--不动点迭代--牛顿法--弦截法

方程求根：二分法--不动点迭代--牛顿法--弦截法

1.问题概述

    许多复杂的求解问题，都可以转换成方程f(x)=0的求解问题。这一系列的解叫做方程的根。对于非线性方程的求解，在自变量范围内往往有多个解，我们将此变化区域分为多个小的子区间，对每个区间进行分别求解。我们在求解过程中，选取一个近似值或者近似区间，然后运用迭代方法逐步逼近真实解。

2.理论与方法

1.二分法（Bisection Method）

 首先假定一个初始区间[a,b]，函数f(x)=0,在此区间上连续。f(a)*(b)<0，说明在此区间至少存在一个实根。考察有根区间[a,b],取中点x0=(a+b)/2将它划分为两半，然后进行根的搜索，即检查f(x0)与f(a)是否同号；如果确系同号，说明所求的根x在x0的右侧，这时令a1=x0,b1=b;否则x必在x0的左侧，这时令a1=a,b1=x0(如图2-1所示)。不管出现哪一种情形，新的有根区间[a1,b1]的长度仅为[a,b]的一半，通过一步一步的二分操作，逐步靠经精确解。

由于这是粗略的估计，最终很难得到一个准确解，所以只能求出一个靠近真实解的，所以我们应该在求解的开始时候确定一个误差，当迭代n次过后满足 |x-xn|<=误差 。同时我们可以求出迭代次数n=⌈log2((b-a)/2*误差)⌉