bzoj1770-------（算法模板系列之gauss消元异或方程组）

异或方程组就是形如这个样子的方程组：

M[0][0]x[0]^M[0][1]x[1]^…^M[0][N-1]x[N-1]=B[0]
M[1][0]x[0]^M[1][1]x[1]^…^M[1][N-1]x[N-1]=B[1]
…
M[N-1][0]x[0]^M[N-1][1]x[1]^…^M[N-1][N-1]x[N-1]=B[N-1]

其中“^”表示异或(XOR, exclusive or)，M[i][j]表示第i个式子中x[j]的系数，是1或者0。B[i]是第i个方程右端的常数，是1或者0。

解这种方程可以套用高斯消元法，只须将原来的加减操作替换成异或操作就可以了，两个方程的左边异或之后，它们的公共项就没有了。

具体的操作方法是这样的：对于k=0..N-1，找到一个M[i][k]不为0的行i，把它与第k行交换，用第k行去异或下面所有M[i][j]不为0的行i，消去它们的第k个系数，这样就将原矩阵化成了上三角矩阵；最后一行只有一个未知数，这个未知数就已经求出来了，用它跟上面所有含有这个未知数的方程异或，就小觑了所有的着个未知数，此时倒数第二行也只有一个未知数，它就被求出来了，用这样的方法可以自下而上求出所有未知数。

（以上摘自：边城水手的专栏）

1770: [Usaco2009 Nov]lights 燈

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Description

貝希和她的閨密們在她們的牛棚中玩遊戲。但是天不從人願，突然，牛棚的電源跳閘了，所有的燈都被關閉了。貝希是一個很膽小的女生，在伸手不見拇指的無盡的黑暗中，她感到驚恐，痛苦與絕望。她希望您能夠幫幫她，把所有的燈都給重新開起來！她才能繼續快樂地跟她的閨密們繼續玩遊戲！ 牛棚中一共有N（1 <= N <= 35）盞燈，編號為1到N。這些燈被置於一個非常複雜的網絡之中。有M（1 <= M <= 595）條很神奇的無向邊，每條邊連接兩盞燈。 每盞燈上面都帶有一個開關。當按下某一盞燈的開關的時候，這盞燈本身，還有所有有邊連向這盞燈的燈的狀態都會被改變。狀態改變指的是：當一盞燈是開著的時候，這盞燈被關掉；當一盞燈是關著的時候，這盞燈被打開。 問最少要按下多少個開關，才能把所有的燈都給重新打開。 數據保證至少有一種按開關的方案，使得所有的燈都被重新打開。

Input

＊第一行：兩個空格隔開的整數：N和M。

＊第二到第M+1行：每一行有兩個由空格隔開的整數，表示兩盞燈被一條無向邊連接在一起。 沒有一條邊會出現兩次。

Output

第一行：一個單獨的整數，表示要把所有的燈都打開時，最少需要按下的開關的數目。

Sample Input

5 6
1 2
1 3
4 2
3 4
2 5
5 3

輸入細節：

一共有五盞燈。燈1、燈4和燈5都連接著燈2和燈3。

Sample Output

3

輸出細節：

按下在燈1、燈4和燈5上面的開關。

HINT

Source

Gold

首先，可以看出按多次开关显然没有必要，所以只有按和不按两个选项。

我们列异或方程组

a[i][j]*x[j]^a[i][j2]*x[j2].....=b[i]

.....

其中x[j]表示按或不按j这个灯的开关，a[i][j]表示i和j是否有边连通，如果有则a[i][j]=1否则a[i][j]=0，b[i]表示i在所有操作结束后的状态（关:0,开:1)本题中b[i]均为1

这样列方程由其意义很容易知道，答案=x[i]的和

gauss消元解异或方程组。但是消成三角矩阵后，会发现有一些a[i][i]=0,这就意味着，无论x[i]为1或0，对最终状态无影响，那我们dfs它为0或1，搜出最优解即可。

模板题，今天应该差不多学会gauss了

代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int a[55][55],n,m,as=1<<26,tot,ans[55];;
void gauss()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int j=i;
		while(j<=n&&!a[j][i])j++;
		if(j>n)continue;
		if(i!=j)for(int k=1;k<=n+1;k++)swap(a[i][k],a[j][k]);
		for(int j=1;j<=n;j++)
			if(i!=j&&a[j][i])
				for(int k=1;k<=n+1;k++)
					a[j][k]^=a[i][k];
	}
}
void dfs(int now)
{
	if(tot>=as)return;
	if(!now)
	{
		as=min(as,tot);
		return;
	}
	if(a[now][now])
	{
		int t=a[now][n+1];
		for(int i=now+1;i<=n;i++)
			if(a[now][i])t^=ans[i];
		ans[now]=t;
		if(t)tot++;
		dfs(now-1);
		if(t)tot--;
	}
	else
	{
		tot++;ans[now]=1;dfs(now-1);
		tot--;ans[now]=0;dfs(now-1);
	}
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		a[i][i]=1,a[i][n+1]=1;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		a[x][y]=a[y][x]=1;
	}gauss();
/*	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n+1;j++)
			printf("%d ",a[i][j]);
		printf("\n");
	}*/dfs(n);printf("%d\n",as);//while(1);
}

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