关于Lucas定理

在这篇文章中我来讲一讲数论中的一个重要定理：Lucas定理。

先看看Lucas定理是什么：

证明：

首先我们知道，对于任意的质数p

这个式子是恒成立的。

那么我们对于任意的一个实数x有

在模p意义下有

我们对于任意一个整数m有 

二项式定理展开 

那么等号左边当i=n时，等号右边唯一能组合出来x^n的就是x^(n\p*p)和x^(n mod p) 。

那么系数乘积也就相等。 

证毕。

模板

Code：

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100005
#define ll long long
using namespace std;
ll a[N],b[N];int p;
ll lucas(int x,int y)
{
	if(x<y)return 0;else
		if(x<p)return b[x]*a[y]*a[x-y]%p;else
			return lucas(x/p,y/p)*lucas(x%p,y%p)%p;
}
int main()
{
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		int n,m;
		scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
		a[0]=b[0]=a[1]=b[1]=1;
		for(int i=2;i<p;i++)b[i]=b[i-1]*i%p;
		for(int i=2;i<p;i++)a[i]=(p-p/i)*a[p%i]%p;
		for(int i=2;i<p;i++)a[i]=a[i-1]*a[i]%p;
		printf("%lld\n",lucas(n+m,m));
	}
}