poj 3735Training little cats （矩阵快速幂）

最新推荐文章于 2021-09-11 19:55:36 发布

原创最新推荐文章于 2021-09-11 19:55:36 发布 · 463 阅读

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本文介绍了一种通过矩阵操作和快速幂解决特定问题的方法。详细解释了三种基本矩阵操作（改变指定元素、清零列、交换两列）的实现过程，并展示了如何利用这些操作构建转换矩阵，最后使用矩阵快速幂求解复杂问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

思路：对于第一种操作g i，我们在单位矩阵基础上使Mat[0][i]变为1，例如g 1：
              1 1 0 0
              0 1 0 0
              0 0 1 0
              0 0 0 1，显然[1 0 0 0]*Mat = [1 1 0 0]
              对于第二种操作e i，我们在单位矩阵基础使第i列等于0,例如e 2：
              1 0 0 0
              0 1 0 0
              0 0 0 0
              0 0 0 1, 显然[1 2 3 4]*Mat = [1 2 0 4]
              对于第三种操作s i j，我们在单位矩阵基础上使第i列与第j互换，例如s 1 2：
              1 0 0 0
              0 0 0 1
              0 0 1 0
              0 1 0 0，显然[1 2 0 4]*Mat = [1 4 0 2]
              现在，对于每一个操作我们都可以得到一个转置矩阵，把k个操作的矩阵相乘我们可以得到一个新的转置矩阵T。
              A * T 表示我们经过一组操作，类似我们可以得到经过m组操作的矩阵为 A * T ^ m,最终矩阵的[0][1~n]即为答案。

构造矩阵T：

我们以单位矩阵为基础：

对于第一种操作g i，我们使Mat[0][i] = Mat[0][i] + 1；
对于第二种操作e i，我们使矩阵的第i列清零；

对于第三种操作s i j，我们使第i列与第j列互换。

至此，构造转置矩阵T就完成了，接下来只需用矩阵快速幂求出 A * T ^ m即可，还有一个注意的地方，该题需要用到long long。

因为矩阵的乘法符合结合率，所以我们可以先算T^m，得到t，又因为A为1，0，0……；所以A*t为t的第一行。

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
const int maxn = 108;
using namespace std;

struct mat{//套路0.0；
   __int64 v[maxn][maxn];
};
int n, m;
//矩阵乘法优化
mat matrix_mul(mat a, mat b) {
    mat c;
    memset(c.v, 0, sizeof(c.v));
    int i, j, k;
    for(i = 0; i <= n; i++)
        for(j = 0; j <= n; j++)
            if (a.v[i][j])
                for(k = 0; k <= n; k++)
                    c.v[i][k] += a.v[i][j]*b.v[j][k];
    return c;
}

int main() {
    int k;
    while(scanf("%d%d%d", &n, &m, &k) && n) {
        char c[2];//套路0.0；
        mat p, t;
        memset(p.v, 0, sizeof(p.v));
        memset(t.v, 0, sizeof(t.v));
        for(int i = 0; i <= n; i++) {
            p.v[i][i] = 1;
            t.v[i][i] = 1;
        }
        while(k--) {
            scanf("%s", c);
            if (c[0] == 'g') {
                int num;
                scanf("%d", &num);
                p.v[0][num]++;
            }
            else if (c[0] == 's') {
                int i, j;
                scanf("%d%d", &i, &j);
                for(int h = 0; h <= n; h++) {
                    __int64 tmp = p.v[h][i];
                    p.v[h][i] = p.v[h][j];
                    p.v[h][j] = tmp;
                }
            }
            else {
                int j;
                scanf("%d", &j);
                for(int i = 0; i <= n; i++)
                    p.v[i][j] = 0;
            }
        }
        while(m) {//矩阵快速幂
            if (m & 1)
                t = matrix_mul(t, p);
            m >>= 1;
            p = matrix_mul(p, p);
        }
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            printf("%I64d ", t.v[0][i]);
        printf("\n");
    }
	return 0;
}