牛顿法和梯度下降法

牛顿法和梯度下降法的差别

牛顿法：二次逼近
梯度下降法：一阶逼近

牛顿法：对局部凸的函数找到极小值，对局部凹的函数找到极大值，对不凹不凸的函数可能找到鞍点。
梯度下降法：一般不会找到最大值，但同样可能会找到鞍点。

在初始值合理的条件下，
牛顿法的收敛速度＞梯度下降法的收敛速度

牛顿法的计算难度更大（因为需要估计二阶导数）

泰勒展开式：https://baike.baidu.com/item/泰勒公式/7681487?fr=aladdin

即

其中

牛顿法：

对f(x)函数进行二次逼近，即可以开方两次：

我们假设

g（x）是一个关于∆x的一元二次方程，我们知道一元二次方程式的最小值求法：

那么，g(∆x)的极值为：

此时f(x0+∆x)的极值为：

以此类推：

当f是一个多元函数时，牛顿法将会变为：

分子代表梯度（一阶矩阵推广的向量）

，分母代表Hession矩阵：

梯度下降法：

梯度下降法与牛顿法的区别在于梯度下降法是一阶算法。

假设f(x)是个多元函数，x是一个向量，在x0出对f进行线性逼近：

由于一次函数g(x)没有极值，所以梯度下降法只能提供出来下降的方向，而不能提供出需要下降的距离，我们通常只设定一个比较小的距离γ，并使其沿这个方向走下去，并二道梯度下降法的序列：

牛顿法和梯度下降法的本质上都是对目标函数进行局部逼近，所以只能找到局部极值。