【多项式】【生成函数】51nod1514 美妙的序列

最新推荐文章于 2021-12-19 13:40:56 发布

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分类专栏：多项式生成函数

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生成函数

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本文介绍了一种使用生成函数计算特定条件下合法排列数量的方法，并通过代码实现了递推公式，利用多项式求逆解决实际问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

分析：

感觉生成函数在这有点大材小用了。。。。

这个合法的序列就是指任意一个前缀都不能是1-i的排列

设 $f (n)$ 表示用前n个数组成的合法排列个数。

那么 $f(n)=n!−∑i=0i<nf(i)∗(n−i)!f(n)=n!-\sum_{i=0}^{i<n}f(i)*(n-i)!$

移项 $∑i=0i≤nf(i)=n!\sum_{i=0}^{i\leq n}f(i)=n!$

所以设 $g(x)=i!x^i$

所以 $f (x) * g (x) = g (x) - 1$

这个-1是因为当x=0时，右式0!=1,而左式 $f (0) = 0$ ，所以 $f(0)×g(0)=0f(0)\times g(0)=0$

所以就可以利用生成函数的性质：
$f(x)=1−1g(x)f(x)=1-\frac {1} {g(x)}$

多项式求逆即可

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cmath>
#define SF scanf
#define PF printf
#define MAXN 400010
#define MOD 998244353
using namespace std;
typedef long long ll;
const int G=3;
ll g1[MAXN],g[MAXN],f[MAXN];
ll fsp(ll x,int y){
	ll res=1;
	while(y){
		if(y&1)
			res=res*x%MOD;
		x=x*x%MOD;
		y>>=1;
	}
	return res;
}
void NTT(ll A[],int N,int flag){
	for(int i=1,j=0;i<N;i++){	
		for(int d=N;j^=d>>=1,~j&d;);
		if(i<j)
			swap(A[i],A[j]);
	}
	for(int i=1;i<N;i<<=1){
		ll wn=fsp(G,(MOD-1)/(i<<1));
		if(flag)
			wn=fsp(wn,MOD-2);
		for(int j=0;j<N;j+=(i<<1)){
			ll w=1;
			for(int k=0;k<i;k++,w=w*wn%MOD){
				ll x=A[j+k],y=A[i+j+k]*w%MOD;
				A[j+k]=(x+y)%MOD;
				A[i+j+k]=(x-y+MOD)%MOD;
			}
		}
	}
	if(flag){
		ll invN=fsp(N,MOD-2);
		for(int i=0;i<N;i++)
			A[i]=A[i]*invN%MOD;	
	}
}
void inv(int N,ll A[],ll B[]){
	if(N==1){
		B[0]=fsp(A[0],MOD-2);
		return;
	}
	inv((N+1)>>1,A,B);
	static ll tmp[MAXN];
	for(int i=0;i<N;i++)
		tmp[i]=A[i];
	int p=1;
	while(p<=N*2)
		p<<=1;
	NTT(tmp,p,0);
	NTT(B,p,0);
	for(int i=0;i<p;i++)
		B[i]=B[i]*(2-tmp[i]*B[i]%MOD+MOD)%MOD;
	NTT(B,p,1);
	for(int i=N;i<p;i++) B[i]=0;
	for(int i=0;i<p;i++) tmp[i]=0;
}
int main(){
	int n=100001,t;
	g[0]=1;
	for(int i=1;i<n;i++)
		g[i]=g[i-1]*i%MOD;
	inv(n,g,g1);
	for(int i=0;i<n;i++)
		f[i]=MOD-g1[i];
	f[0]=(f[0]+1)%MOD;//f[0]=0;
	
	SF("%d",&t);
	while(t--){
		SF("%d",&n);
		PF("%lld\n",f[n]);	
	}
}