【WQS二分】【DP】 [八省联考2018]林克卡特树lct

最新推荐文章于 2023-11-05 16:27:27 发布

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分类专栏： WQS二分 DP

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本文探讨了一种复杂的数据结构问题——树上背包问题，并提出了一种高效求解策略。通过分析，我们发现该问题可以利用WQS二分法进行优化，将时间复杂度从O(N*K)降低到更优水平。文章提供了详细的算法实现思路及代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

分析：

显然有个 $O (N * K)$ 的方法。
裸的树上背包。根节点分类讨论那种。

然后这要T
于是：

即得易见平凡，仿照上例显然。留作习题答案略，读者自证不难。
反之亦然同理，推论自然成立。略去过程Q.E.D.，由上可知证毕。

这个背包随着背包容量L是单峰的。
然后就可以用WQS二分，每次给一条链强行+某个值，使得最优解恰有K条链。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define SF scanf
#define PF printf
#define MAXN 300010
typedef long long ll;
using namespace std;
vector<int> a[MAXN];
vector<ll> w[MAXN];
struct node{
	ll x,y;
	node () {}
	node (ll x1,ll y1):x(x1),y(y1) {}
	bool operator < (const node &a) const {
		if(x!=a.x)
			return x<a.x;
		return y>a.y;	
	}
	node operator + (const node &a) const {
		return node(x+a.x,y+a.y);
	}
	node operator + (ll a) const {
		return node(x+a,y);	
	}
}f[MAXN][3];
ll add;
void dfs(int x,int fa){
	f[x][2]=max(f[x][2],node(-add,1));
	for(int i=0;i<int(a[x].size());i++){
		int u=a[x][i];
		if(u==fa)
			continue;
		dfs(u,x);
		f[x][2]=max(f[x][2]+f[u][0],f[x][1]+f[u][1]+node(-add,1ll)+w[x][i]);
		f[x][1]=max(f[x][1]+f[u][0],f[x][0]+f[u][1]+w[x][i]);
		f[x][0]=f[x][0]+f[u][0];
	}
	f[x][0]=max(f[x][0],max(f[x][2],f[x][1]+node(-add,1)));
}
node check(){
	memset(f,0,sizeof f);
	dfs(1,0);
	return  max(f[1][0],max(f[1][2],f[1][1]+node(-add,1)));
}
int n;
ll k;
int main(){
//	freopen("data.in","r",stdin);
	SF("%d%lld",&n,&k);
	k++;
	ll r=0,l;
	int u,v;ll val;
	for(int i=1;i<n;i++){
		SF("%d%d%lld",&u,&v,&val);
		a[u].push_back(v);
		a[v].push_back(u);
		w[u].push_back(val);
		w[v].push_back(val);
		r+=abs(val);
	}
	l=-r;
	while(l<=r){
		int mid=(l+r)>>1;
		add=mid;
//		PF("[%lld %lld: %lld -> %lld]\n",l,r,add,check().y);
		if(check().y<=k)
			r=mid-1;
		else
			l=mid+1;
	}
	add=l;
	PF("%lld",check().x+add*k);
}