【最短路】【网络流】BZOJ1001狼抓兔子

最新推荐文章于 2024-01-02 20:16:06 发布

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分类专栏：图论网络流最短路

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博客探讨了平面图最小割问题，并指出在特定情况下，平面图的最小割等于其对偶图的最短路。通过举例说明如何构建对偶图，并解释了为何最小割问题可以转化为最短路问题，强调这种转化在解决大规模问题时的效率优势。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

分析：

很容易发现最小割模型，然而最多有 $1000^2$ 个点，明显网络流会T掉，所以这里就有一个很巧妙的结论：平面图的最小割=其对偶图的最短路。所谓对偶图，就是将原图的每个空白区域，看作一个点，每两个相邻的区域连一条边。边权为原图中分开两区域的边权。
样例的对偶图如下：
这里写图片描述
从右上角的点出发，从任意一个上或右端的点进入图，再从任意一个下或左端的点离开图，就能完成一条路径。
很容易发现这个性质是显然的。因为任意一个割，就对应了对偶图中的一条路径。所以最小割无非就是最短路。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define SF scanf
#define PF printf
using namespace std;
void Read(int &x){
    char c;
    bool flag=0;
    while(c=getchar(),c!=EOF&&(c<'0'||c>'9')&&c!='-');
    if(c=='-')
        flag=1;
    else
        x=c-'0';
    while(c=getchar(),c!=EOF&&c>='0'&&c<='9')
        x=x*10+c-'0';
    if(flag==1)
        x=-x;
}

#define MAXN 1010
vector<int> a[2*MAXN*MAXN],w[2*MAXN*MAXN];
int n,m,cnt;
int num[MAXN][MAXN][2],vis[2*MAXN*MAXN],ans;
bool used[2*MAXN*MAXN];
queue<int>q;
void spfa(){
    q.push(0);
    vis[0]=0;
    while(!q.empty()){
        int x=q.front();
        q.pop();
        used[x]=0;
        for(int i=0;i<a[x].size();i++){
            if(vis[a[x][i]]<vis[x]+w[x][i]&&vis[a[x][i]]!=-1)
                continue;
            vis[a[x][i]]=vis[x]+w[x][i];
            if(used[a[x][i]]==0){
                q.push(a[x][i]);
                used[a[x][i]]=1;
            }
        }
    }
}
int main(){
    memset(vis,-1,sizeof vis);
    Read(n),Read(m);
    if(n==1||m==1){
        if(n>m)
            swap(n,m);
        int ans=-1;
        int x;
        for(int i=1;i<m;i++){
            Read(x);
            if(ans==-1||ans>x)
                ans=x;
        }
        PF("%d\n",ans);
        return 0;
    }
    for(int i=1;i<n;i++)
        for(int j=1;j<m;j++){
            num[i][j][0]=++cnt;
            num[i][j][1]=++cnt;
        }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        num[i][0][1]=cnt+1;
        num[i][0][0]=cnt+1;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        num[n][i][0]=cnt+1;
        num[n][i][1]=cnt+1;
    }
    int x;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<m;j++){
            Read(x);
            a[num[i][j][0]].push_back(num[i-1][j][1]);
            w[num[i][j][0]].push_back(x);
            a[num[i-1][j][1]].push_back(num[i][j][0]);
            w[num[i-1][j][1]].push_back(x);
        }
    for(int i=1;i<n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++){
            Read(x);
            a[num[i][j][1]].push_back(num[i][j-1][0]);
            w[num[i][j][1]].push_back(x);
            a[num[i][j-1][0]].push_back(num[i][j][1]);
            w[num[i][j-1][0]].push_back(x);
        }
    for(int i=1;i<n;i++)
        for(int j=1;j<m;j++){
            Read(x);
            a[num[i][j][0]].push_back(num[i][j][1]);
            w[num[i][j][0]].push_back(x);
            a[num[i][j][1]].push_back(num[i][j][0]);
            w[num[i][j][1]].push_back(x);
        }
    spfa();
    PF("%d",vis[cnt+1]);
}