递归与动态规划---龙与地下城游戏问题

【题目】

　　给定一个二维数组map，含义是一张地图，例如如下，矩阵：
　　-2 　-3　 3
　　-5　-10　1
　　0 　30　-5
　　游戏规则如下：

• 骑士从左上角出发，每次只能向右或者向下走，最后到达右下角见到公主。
• 地图中每个位置的只代表骑士要遭遇的事。如果是负数，表示此处有怪兽，要让骑士损失血量。如果是非负数，表示此处有血瓶，能让骑士回血。
• 骑士从左上角到右下角的过程，走到任何一个位置，血量都不能少于１。

为了保证骑士能顺利见到公主，初始血量至少是多少？根据map，返回初始血量。

【基本思路】

　　首先生成和map一样大的矩阵dp，dp[i][j]表示如果骑士要走上位置（i，j），并且从该位置选择一条最优的路径，所需要的血量最少是多少。本题相当于是求dp[0][0]的值，所以，采用倒着填表的方式便可以得到最终结果。dp[i][j]的计算方式如下：

1. 矩阵的右下角的位置是骑士到达的最后位置，骑士经过这里的时候只要血量不少于1即可，如果该位置是血瓶，即map[2][2] >= 0，则dp[2][2] == 1即可，否则dp[2][2] == -map[2][2] + 1。

2. 矩阵的最后一列，表示骑士只能向下走，所以此时只要满足在当前位置（i，col-1） (col表示矩阵的列数)加上血或者扣完血之后的血量等于dp[i+1][col-1]即可。

3. 矩阵的最后一行，表示骑士只能向右走，只要满足在当前位置（row-1，j）(row表示矩阵的行数)加上血或者扣完血之后的血量等于dp[row-1][j+1] 即可。

4. 骑士在矩阵的其他位置，都有向右或者向下两种选择，只要选择需要血量最少的一个即可。

下面是使用python3.5实现的代码

#龙与地下城游戏问题
#经典动态规划方法
def minHP1(mat):
    if mat == None or mat[0] == None or len(mat) == 0 or len(mat[0]) == 0:
        return 1
    row = len(mat)
    col = len(mat[0])
    dp = [[0 for i in range(col)] for j in range(row)]
    dp[row-1][col-1] = max(-mat[row-1][col-1]+1, 1)
    for i in range(row-2, -1, -1):
        dp[i][col-1] = max(dp[i+1][col-1] - mat[i][col-1], 1)
    for j in range(col-2, -1, -1):
        dp[row-1][j] = max(dp[row-1][j+1] - mat[row-1][j], 1)
    for i in range(row-2, -1, -1):
        for j in range(col-2, -1, -1):
            right = max(dp[i][j+1] - mat[i][j], 1)
            down = max(dp[i+1][j] - mat[i][j], 1)
            dp[i][j] = min(right, down)
    return dp[0][0]

#动态规划＋空间压缩
def minHP2(mat):
    if mat == None or mat[0] == None or len(mat[0]) == 0 or len(mat) == 0:
        return 1
    more = len(mat) if len(mat) >= len(mat[0]) else len(mat[0])
    less = len(mat) if len(mat) < len(mat[0]) else len(mat[0])
    rowmore = True if more == len(mat) else False
    dp = [0 for i in range(less)]
    dp[-1] = max(-mat[more-1][less-1]+1, 1)
    for j in range(less-2, -1, -1):
        row = more-1 if rowmore else j
        col = j if rowmore else more-1
        dp[j] = max(dp[j+1] - mat[row][col], 1)
    for i in range(more-2, -1, -1):
        row = i if rowmore else less-1
        col = less-1 if rowmore else i
        dp[-1] = max(dp[-1] - mat[row][col], 1)
        for j in range(less-2, -1, -1):
            row = i if rowmore else j
            col = j if rowmore else i
            right = max(dp[j+1] - mat[row][col], 1)
            down = max(dp[j] - mat[row][col], 1)
            dp[j] = min(right, down)
    return dp[0]