【AtCoder】Small Multiple 思维题+最短路

最新推荐文章于 2022-10-16 21:15:08 发布

做一只大熊猫

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分类专栏： # 最短路径文章标签：算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_34261446/article/details/120111033

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这篇博客探讨了一道算法问题，要求找到一个正整数n的最小位数和的正整数倍k。通过建立两种操作（加1和乘10）的图，并使用迪杰斯特拉算法求最短路径，可以找到目标值k。代码示例展示了如何实现这一算法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

给我们一个 n（1<=n<=1e5）, 让我们找到一个 k，k 是 n 的正整数倍 , 要求这个 k 的十进制下的，位数和最小是多少？请输出这个值。

思路

不得不说，这题真的很思路，很棒！！！
先说做法吧，
我们知道任何一个自然数取余 n 必然在 0~n-1 之间，那么 n 的倍数 k 取余 n 必然为 0，
又因为是正整数倍，我们对于某个数 x 来说，我们可以同两种操作建边：
1. 令 x+=1 操作，我们可以建一条费用为 1 的边：x -> (x+1)% n,
2. 令 x*=10, 操作，我们可以建一条费用为 0 的边 : x->(x*10)% n
设从最小的正数 1 到达 0 的最短路径设为 d, d+1就是答案，因为我们是从 1 开始的相当于我们已经加了消耗了一个费用，因此要+1。
当 n=6 时候所建的图如下

$f i r s t : 1 \to 2 \to 3 \to 0$ (相当于得到 30)
$s e c o n d : 1 \to 4 \to 5 \to 0$ (相当于得到 12)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define db  double
#define ll  long long
#define Pir pair<int, int>
#define fi  first
#define se  second
#define pb  push_back
#define m_p make_pair
#define inf 0x3f3f3f3f
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
/*==========ACMer===========*/
const int N = 1e5 + 10;
int n; 
struct Edge
{
    int v, w, next;
} e[N << 1];
int head[N], tot;

void add(int u, int v, int w)
{
    e[++ tot] = Edge{ v, w, head[u] };
    head[u] = tot;
}

int dis[N], vis[N];

struct Node
{
    int v, w;
    bool operator < (const Node a) const
    {
        return w > a.w;
    }
};

void dijkstra(int s)
{
    memset(dis, inf, sizeof dis);
    memset(vis, 0, sizeof vis);
    priority_queue<Node> q;
    dis[s] = 0;
    q.push(Node{ s, dis[s] });

    while (q.size())
    {
        Node now = q.top(); q.pop();
        int u = now.v;
        vis[u] = 1;                             //这里是重点，不要忘记

        for (int i = head[u]; i; i = e[i].next)
        {
            int v = e[i].v, w = e[i].w;
            if (! vis[v] && dis[v] > dis[u] + w)    
            {
                dis[v] = dis[u] + w;
                q.push(Node{ v, dis[v] });
            }
        }
    }
}


int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i < n; i ++)
    {
        add(i, (i + 1) % n, 1);
        add(i, (i * 10) % n, 0); 
    }

    dijkstra(1);
    printf("%d\n", dis[0] + 1);


    return 0;
}