几何证明：DE⊥DF-优快云博客

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题目

$△ABC$ 的角平分线分别是 $AD$ 、 $BE$ 、 $CF$ ， $∠BAC=120°$ ，求证： $DE⊥DF$ 。
这里写图片描述
设 $B$ 为 $(-1,0)$ ， $C$ 为 $(1,0)$ ， $∠ACB=u$ ，那么， $A$ 的坐标是：

(sin ( 2 u ) 3 \sqrt - cos (2 u), sin (2 u) - 2 sin 2 ( u ) 3 \sqrt)

$\left(\dfrac{\sin (2 u)}{\sqrt{3}}-\cos (2 u),\sin (2 u)-\dfrac{2 \sin ^2(u)}{\sqrt{3}}\right)$
D的坐标是：

(3 - 12 3 \sqrt tan ( u ) + 3, 0)

$\left(3-\dfrac{12}{\sqrt{3} \tan (u)+3},0\right)$
E的坐标是：

(3 \sqrt sin ( 2 u ) - 2 cos ( u ) + cos ( 2 u ) 2 cos ( u ) - 1, - 2 sin ( u ) ( 3 \sqrt sin ( u ) + cos ( u ) - 2 ) 2 cos ( u ) - 1)

$\left(\dfrac{\sqrt{3} \sin (2 u)-2 \cos (u)+\cos (2 u)}{2 \cos (u)-1},-\dfrac{2 \sin (u) \left(\sqrt{3} \sin (u)+\cos (u)-2\right)}{2 \cos (u)-1}\right)$
F的坐标是：

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 2 sin ( u ) ( sin ( u ) - 3 \sqrt cos ( u ) ) 3 \sqrt sin ( u ) + cos ( u ) - 1 + 1, 4 sin 2 ( u 2 ) ( 3 \sqrt cos ( u ) - sin ( u ) ) 3 \sqrt sin ( u ) + cos ( u ) - 1 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟

$\left(\dfrac{2 \sin (u) \left(\sin (u)-\sqrt{3} \cos (u)\right)}{\sqrt{3} \sin (u)+\cos (u)-1}+1,\dfrac{4 \sin ^2\left(\dfrac{u}{2}\right) \left(\sqrt{3} \cos (u)-\sin (u)\right)}{\sqrt{3} \sin (u)+\cos (u)-1}\right)$
向量

DE−→− $\overrightarrow{DE}$ 为：

(2 3 \sqrt sin ( u ) ( 1 - 2 cos ( u ) ) 3 \sqrt sin ( u ) + 3 cos ( u ), 2 sin ( u ) ( 3 \sqrt sin ( u ) + cos ( u ) - 2 ) 2 cos ( u ) - 1)

$\left(\dfrac{2 \sqrt{3} \sin (u) (1-2 \cos (u))}{\sqrt{3} \sin (u)+3 \cos (u)},\dfrac{2 \sin (u) \left(\sqrt{3} \sin (u)+\cos (u)-2\right)}{2 \cos (u)-1}\right)$
向量

DF−→− $\overrightarrow{DF}$

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ - 4 sin 2 ( u 2 ) ( 2 3 \sqrt sin ( u ) - 3 ) ( 2 cos ( u ) + 1 ) ( 3 \sqrt sin ( u ) + cos ( u ) - 1 ) ( 3 \sqrt sin ( u ) + 3 cos ( u ) ), 4 sin 2 ( u 2 ) ( sin ( u ) - 3 \sqrt cos ( u ) ) 3 \sqrt sin ( u ) + cos ( u ) - 1 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟

$\left(-\dfrac{4 \sin ^2\left(\dfrac{u}{2}\right) \left(2 \sqrt{3} \sin (u)-3\right) (2 \cos (u)+1)}{\left(\sqrt{3} \sin (u)+\cos (u)-1\right) \left(\sqrt{3} \sin (u)+3 \cos (u)\right)},\dfrac{4 \sin ^2\left(\dfrac{u}{2}\right) \left(\sin (u)-\sqrt{3} \cos (u)\right)}{\sqrt{3} \sin (u)+\cos (u)-1}\right)$
而，