DPL_1_D:Longest Increasing Subsequence[贪心+二分][动态规划]

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题目给出了n个数字,要求出这个n个数组组成的序列的最长上升子序列(longest increasing subsequence);

首先容易想到的是dp的做法,想到用$dp[i]$来表示第1-n个数字组成的LIS的长度;

那么可以得到递推式:$dp[i]=max(dp[i-1] , dp[j]+1 )$ j是在[1,i]区间中能与a[i]组成LIS的数字;

但是这样每次在求递推式dp[i]的时候都需要去遍历一次区间[1,n],复杂度是O(n^2),会TLE;

dp的做法代码如下:

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1e5+6;
int a[maxn],dp[maxn];
int n,ans;

int main() {
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
    }
    fill(dp, &dp[maxn-1], 1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            if(a[i]>a[j]){
                dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
            }
        }
    }
    ans=*max_element(dp, &dp[maxn-1]);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

然后想到我们可以换一个方法, 假想, 如果在区间[1,i]中有几个数字的LIS长度都是一样的,那么如果希望LIS长度尽量大,我们就应该更愿意选取结尾数字比较小的,这样可以让后面的数字选择更小的就可以满足LIS;

a[i]表示第i个数据。
dp[i]表示表示长度为i+1的LIS结尾元素的最小值。
利用贪心的思想，对于一个上升子序列，显然当前最后一个元素越小，越有利于添加新的元素，这样LIS长度自然更长。
因此，我们只需要维护dp数组，其表示的就是长度为i+1的LIS结尾元素的最小值，保证每一位都是最小值，这样子dp数组的长度就是LIS的长度

最终代码如下:

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1e5+6;
const int inf=0x7fffffff;
int a[maxn],dp[maxn];
int n,ans;

int main() {
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>a[i];
    }
    fill(dp, dp+n, inf);
    for(int i=0;i<n;i++){
        *lower_bound(dp, dp+n, a[i])=a[i];
    }
    cout<<lower_bound(dp, dp+n, inf)-dp<<endl;
    return 0;
}

错点:
1.填充的时候要填充为inf;
2.在遍历的时候可以直接*lower_bound(dp, dp+n, a[i])=a[i];,这样不论是替换还是补充在序列的最后面都可以实现(其他元素已经初始化为了inf)