2-3 棋盘覆盖 | 分治

棋盘覆盖问题

棋盘覆盖分析 (步骤化PPT)

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划分：将 $2^k*2^k$ 的棋盘划分为 $2^{k-1}*2^{k-1}$ 这样的子棋盘4块。
求解：递归填充各个格子，填充分为四个情况（见后文），递归出口为k=0也就是子棋盘方格数为1。
合并：不需要合并子问题。

解决方案

就是利用分治法，将方形棋盘分成4部分，如果该特殊点在某一部分，我们就去递归他，如果不在某一部分，我们假设一个点为特殊点，同样递归下去，直到全覆盖。

左上角的子棋盘（若不存在特殊方格）：则将该子棋盘右下角的那个方格假设为特殊方格；

右上角的子棋盘（若不存在特殊方格）：则将该子棋盘左下角的那个方格假设为特殊方格；

左下角的子棋盘（若不存在特殊方格）：则将该子棋盘右上角的那个方格假设为特殊方格；

右下角的子棋盘（若不存在特殊方格）：则将该子棋盘左上角的那个方格假设为特殊方格；

数据结构

• 棋盘 —— 使用二维数组表示；int board[size][size];，令 size = $2^k$，表示棋盘的规格。为方便调用，将board设为全局变量，board[0][0]是左上角方格。
• 子棋盘 —— 由棋盘左上角的坐标tr,tc和棋盘大小s表示。
• 特殊方格 —— 坐标位置为（dr,dc）。
• L型骨牌 —— 用到L型骨牌个数为 $(4^k-1)/3$，将所有骨牌从1编号，用全局变量表示。static int tile = 1;

代码实现

#include
 
  
#include
  
   
using namespace std;

int board[1025][1025]; // 棋盘 
static int tile = 1;   // 骨牌编号 
  
/** 
 * (tr,tc) : tr棋盘左上角的行号，tc棋盘左上角的列号 
 * (dr,dc) : dr特殊方格左上角的行号，dc特殊方格左上角的列号 
 * size ：size = 2^k 棋盘规格为2^k*2^k 
 */ 
void ChessBoard(int tr,int tc,int dr,int dc,int size)
{
	if(size==1) return ; // 递归边界
	
	int t=tile++;        // L型骨牌编号 
	int s=size/2;        // 分割棋盘 
	
	// 覆盖左上角子棋盘
	if(dr
   
    =tc+s) // 特殊方格在此棋盘中 
		ChessBoard(tr,tc+s,dr,dc,s);
	else 
	{
		// 用编号为t的骨牌覆盖左下角  
		board[tr+s-1][tc+s]=t;
		ChessBoard(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);
	}
	
	// 覆盖左下角子棋盘  
	if(dr>=tr+s && dc
    
     =tr+s && dc>=tc+s)
		ChessBoard(tr+s,tc+s,dr,dc,s);
	else 
	{
		// 用编号为t的骨牌覆盖左上角  
		board[tr+s][tc+s]=t;
		ChessBoard(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);
	}
}
  
int main()
{
	int i,j;
	int k;
	while(cin>>k)
	{
		int size = 1<
     
      >x>>y;  
		board[x][y]=0;
		ChessBoard(0, 0, x, y, size);
		for(i=0; i
      
       
 
       
时间复杂度分析
 
       
设T(k)为覆盖棋盘的时间。从分治策略可知递推式： 
 
        $$T(k)= 
\begin{cases} 
O(1), & \text {k=0} \\ 
4T(k-1)+O(1), & \text{k>0} 
\end{cases}$$  
       
 解可得 
       
       $T(k) = O(4^k)$。（
       
       $n=2^k, n^2=4^k$）。这是一个渐进意义下的最优算法。