2-3 棋盘覆盖 | 分治

本文详细介绍了棋盘覆盖问题的解决思路与算法实现过程。通过递归和分治的方法,利用L型骨牌覆盖缺失一块的2^k*2^k棋盘。文章提供了具体的步骤说明、数据结构设计及C++代码实现。

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棋盘覆盖问题

棋盘覆盖分析 (步骤化PPT)


划分:将 2k2k 的棋盘划分为 2k12k1 这样的子棋盘4块。
求解:递归填充各个格子,填充分为四个情况(见后文),递归出口为k=0也就是子棋盘方格数为1。
合并:不需要合并子问题。

解决方案

就是利用分治法,将方形棋盘分成4部分,如果该特殊点在某一部分,我们就去递归他,如果不在某一部分,我们假设一个点为特殊点,同样递归下去,直到全覆盖。

左上角的子棋盘(若不存在特殊方格):则将该子棋盘右下角的那个方格假设为特殊方格;

右上角的子棋盘(若不存在特殊方格):则将该子棋盘左下角的那个方格假设为特殊方格;

左下角的子棋盘(若不存在特殊方格):则将该子棋盘右上角的那个方格假设为特殊方格;

右下角的子棋盘(若不存在特殊方格):则将该子棋盘左上角的那个方格假设为特殊方格;
数据结构
  • 棋盘 —— 使用二维数组表示;int board[size][size];,令 size = 2k ,表示棋盘的规格。为方便调用,将board设为全局变量,board[0][0]是左上角方格。
  • 子棋盘 —— 由棋盘左上角的坐标tr,tc和棋盘大小s表示。
  • 特殊方格 —— 坐标位置为(dr,dc)。
  • L型骨牌 —— 用到L型骨牌个数为 (4k1)/3 ,将所有骨牌从1编号,用全局变量表示。static int tile = 1;
代码实现

#include
 
  
#include
  
   
using namespace std;

int board[1025][1025]; // 棋盘 
static int tile = 1;   // 骨牌编号 
  
/** 
 * (tr,tc) : tr棋盘左上角的行号,tc棋盘左上角的列号 
 * (dr,dc) : dr特殊方格左上角的行号,dc特殊方格左上角的列号 
 * size :size = 2^k 棋盘规格为2^k*2^k 
 */ 
void ChessBoard(int tr,int tc,int dr,int dc,int size)
{
	if(size==1) return ; // 递归边界
	
	int t=tile++;        // L型骨牌编号 
	int s=size/2;        // 分割棋盘 
	
	// 覆盖左上角子棋盘
	if(dr
   
    =tc+s) // 特殊方格在此棋盘中 
		ChessBoard(tr,tc+s,dr,dc,s);
	else 
	{
		// 用编号为t的骨牌覆盖左下角  
		board[tr+s-1][tc+s]=t;
		ChessBoard(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);
	}
	
	// 覆盖左下角子棋盘  
	if(dr>=tr+s && dc
    
     =tr+s && dc>=tc+s)
		ChessBoard(tr+s,tc+s,dr,dc,s);
	else 
	{
		// 用编号为t的骨牌覆盖左上角  
		board[tr+s][tc+s]=t;
		ChessBoard(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);
	}
}
  
int main()
{
	int i,j;
	int k;
	while(cin>>k)
	{
		int size = 1<
     
      >x>>y;  
		board[x][y]=0;
		ChessBoard(0, 0, x, y, size);
		for(i=0; i
      
       

时间复杂度分析

设T(k)为覆盖棋盘的时间。从分治策略可知递推式:

T(k)={O(1),4T(k1)+O(1),k=0k>0

解可得 T(k)=O(4k) 。( n=2k,n2=4k )。这是一个渐进意义下的最优算法。

L型组件填图问题 1.问题描述 设B是一个n×n棋盘,n=2k,(k=1,2,3,…)。用分治法设计一个算法,使得:用若干个L型条块可以覆盖住B的除一个特殊方格外的所有方格。其中,一个L型条块可以覆盖3个方格。且任意两个L型条块不能重叠覆盖棋盘。 例如:如果n=2,则存在4个方格,其中,除一个方格外,其余3个方格可被一L型条块覆盖;当n=4时,则存在16个方格,其中,除一个方格外,其余15个方格被5个L型条块覆盖。 2. 具体要求 输入一个正整数n,表示棋盘的大小是n*n的。输出一个被L型条块覆盖的n*n棋盘。该棋盘除一个方格外,其余各方格都被L型条块覆盖住。为区别出各个方格是被哪个L型条块所覆盖,每个L型条块用不同的数字或颜色、标记表示。 3. 测试数据(仅作为参考) 输入:8 输出:A 2 3 3 7 7 8 8 2 2 1 3 7 6 6 8 4 1 1 5 9 9 6 10 4 4 5 5 0 9 10 10 12 12 13 0 0 17 18 18 12 11 13 13 17 17 16 18 14 11 11 15 19 16 16 20 14 14 15 15 19 19 20 20 4. 设计与实现的提示 对22k的棋盘可以划分成若干块,每块棋盘是原棋盘的子棋盘或者可以转化成原棋盘的子棋盘。 注意:特殊方格的位置是任意的。而且,L型条块是可以旋转放置的。 为了区分出棋盘上的方格被不同的L型条块所覆盖,每个L型条块可以用不同的数字、颜色等来标记区分。 5. 扩展内容 可以采用可视化界面来表示各L型条块,显示其覆盖棋盘的情况。 经典的递归问题, 这是我的大代码, 只是本人很懒, 不想再优化
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