实时水面波动模拟的两种方式

图片来自大名鼎鼎的Crest Ocean项目截图，其波动算法为Gerstner Waves
因为HDRP项目需要一套水，现有的水都比较简陋，所以又双叒叕在做玩具
主要是 Gerstner Waves 和 Statistical Wave Models

Gerstner Waves

1. Gerstner函数

在GPU Gems 第一部分 第一章 用物理模型进行高效水模拟 中提供了Gerstner函数：

其中$Q_i$是控制波坡度的参数。对于单个波 $i$，$Q_i=0$ 会得到正常的正弦波，而 $Q_i=1/(w_i{A}_i)$ 可以给出尖峰的波形。我们可以提供可调参数到面板，使用$Q_i=1/(w_i{A}_i\times NumWaves)$ 控制波的平滑程度。
然后，我们可以通过分别对$x,y$偏导，求出切线和副切线向量：


然后$B\times T$ 得到法线方向

其中

可见，计算复杂度随着波形的数量变化；文章开头是启用了8八种波形的效果，但我们往往只需要计算坐标和法线。
实现的话只需要把公式算出来罢了

float3 GerstnerWave(float2 pos, float A, float Q, float T, float Phi, float D, out float3 normal)
{
   
    float3 outPutPos = float3(0.0f, 0.0f, 0.0f);

    float2 Dir = normalize(float2(cos(D), sin(D)));
    float Omega = (2.0f * 3.14159265f) / T;
    float WA = Omega * A;
    float Qi = Q / WA;
    float TSP = _Time.y * Phi;
    float fun1 = TSP + Omega * dot(Dir, pos);
    float cosFun1 = Qi * A * cos(fun1);
    float sinFun1 = sin(fun1);

    //P(x,y,t)
    outPutPos.x = Dir.x * cosFun1;
    outPutPos.y = A * sinFun1;
    outPutPos.z = Dir.y * cosFun1;

    //法线计算
    float2 P = float2(outPutPos.x, outPutPos.z);
    float tempValue = Omega * dot(Dir, P) + TSP;
    float cosFun2 = cos(tempValue);
    float sinFun2 = sin(tempValue);

    normal.xz = Dir * WA * cosFun2;
    normal.y = Qi * WA * sinFun1;

    return outPutPos;
}

叠加的部分，需要几次层得加几层

offsetVertex += GerstnerWave(v.vertex.xz, _A.x, _Q.x, _T.x, _Phi.x, _D.x, tempNormal);
finalNormal += tempNormal;

2. 效果

感觉很容易控制和调节，而且比较节省

Statistical Wave Models

1. 实用的海浪算法

基于FFT的高度场表达式

其中 $t$ 是时间，$k$ 是二维坐标，即水平坐标

$n$ 和 $m$ 是整数，N、M是傅里叶变换的规模，必须是2的幂次方; L是网格的大小

$x$ 为水平离散点坐标

现在，我们只剩$\stackrel{-}{h(k,t)}$未知了。

2. 建立随机的高度场

水波高度场的实现是由迄今为止详细阐述的原则:具有规定形式的空间谱的高斯随机数来实现的。这是直接在傅里叶域中实现的最有效的方法。波高场的傅里叶振幅可表示为

其中，${\xi }_r$ 和 ${\xi }_i$ 是均值为0，标准差为1的高斯分布的随机数，分布形式的不同，会导致不同的效果。
原文中提到，对大量的海洋表面波浪浮标、照片和雷达测量数据的统计分析表明，波浪高度振幅几乎是统计上显著的、独立的、高斯波动，频谱统计均值可表示为：

有很多经验模型模拟$P_h(k)$，其中 Phillips 比较常用

其中$L=V^2/g$ ，V是风速，g是重力加速度，$\hat{w}$是风的方向。

现在，我们有了计算$h(x,t)$所需的所有信息。

3. 优化计算

这个计算量明显要比上面的方法大太多了，为了把计算的复杂度降下来，除了尽量分离可预计算的参数之外，FFT必须得掌握
看了几篇文章，总结就是利用单位根的性质，计算基于点值表示的多项式，然后转换回去。

1. 基于点值的多项式计算

对于多项式
$$A(x)=\sum _{l=0}^{n-1}{a}_i\cdot x^i$$
把不重合的差值节点$(x_0,x_1,x_2,...,x_n)$ 分别代入 $A(x)$，得到$(y_0,y_1,y_2,...,y_n)$，这就是多项式的点值表示法
仅仅是表示方法并没有降低计算复杂度，复杂度的降低主要依赖于单位根的性质。
在单位圆中，单位根$w_n^k$可表示为：
$$w_n^k=cos(2\pi \cdot \frac{k}{n})+i\cdot sin(2\pi \cdot \frac{}{n}$$