本文介绍了南京大学提出的高效演化算法EAMC，用于解决带有通用成本约束的子集选择问题。EAMC通过优化整合了目标函数和成本的代理函数，在多项式时间内找到最佳近似解，适用于最大覆盖、影响力最大化和传感器放置等问题。
An Efficient Evolutionary Algorithm for Subset Selection with General Cost Constraints
文章目录
简介
论文标题:
- An Efficient Evolutionary Algorithm for Subset Selection with General Cost Constraints
- 具有通用成本约束的子集选择的高效进化算法
简介:
- 提出了一个高效的演化算法 EAMC，来解决一般约束下的子集选择问题
背景知识
子模
子模(submodular)函数/次模函数
定 义 ： 对 于 一 个 集 合 函 数 f : 2 v → R 如 果 ∀ X ⊆ Y 时 f ( X ) ≤ f ( Y ) ， 则 称 集 合 函 数 f 是 单 调 的 对 于 所 有 的 A ⊆ B ⊆ V 和 s ∈ V − B ， 如 果 存 在 f ( A ∪ s ) − f ( A ) ≥ f ( B ∪ s ) − f ( B ) ， 为 子 模 性 函 数 。 定义： 对于一个集合函数f:2^v→R\\ 如果 ∀X ⊆ Y 时 f(X) ≤ f(Y)，则称集合函数 f 是单调的\\ 对于所有的A⊆B⊆V和s∈V - B，\\ 如果存在f(A∪{s})−f(A)≥f(B∪{s})−f(B)，为子模性函数。 \\ 定义：对于一个集合函数f:2v→R如果∀X⊆Y时f(X)≤f(Y)，则称集合函数f是单调的对于所有的A⊆B⊆V和s∈V−B，如果存在f(A∪s)−f(A)≥f(B∪s)−f(B)，为子模性函数。
在S中增加一个元素所增加的收益要小于等于在S的子集中增加一个元素所增加的收益。
例
V = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 A = 1 , 2 , 3 B = 1 , 2 , 3 , 5 , 6 e = 3 , 4 , 5 f ( A ) = ∣ A ∣ （ 表 示 集 合 A 的 个 数 ） 所 以 ： f ( A + e ) − f ( A ) > = f ( B + e ) − f ( B ) V={1,2,3,4,5,6,7,8}\\ A={1,2,3}\\ B={1,2,3,5,6}\\ e={3,4,5}\\ f(A)=|A| （表示集合A的个数）\\ 所以：f(A+e)-f(A)>=f(B+e)-f(B)\\ V=1,2,3,4,5,6,7,8A=1,2,3B=1,2,3,5,6e=3,4,5f(A)=∣A∣（表示集合A的个数）所以：f(A+e)−f(A)>=f(B+e)−f(B)
子模性质的三种表示方式
i.e., for any X ⊆ Y ⊆ V , v ∉ Y X \subseteq Y \subseteq V, v \notin Y X⊆Y⊆V,v∈/Y
f ( X ∪ { v } ) − f ( X ) ≥ f ( Y ∪ { v } ) − f ( Y ) f(X \cup\{v\})-f(X) \geq f(Y \cup\{v\})-f(Y) f(X∪{
v})−f(X)≥f(Y∪{
v})−f(Y)
or equivalently, for any X ⊆ Y ⊆ V X \subseteq Y \subseteq V X⊆Y⊆V
f ( Y ) − f ( X ) ≤ ∑ v ∈ Y \ X f ( X ∪ { v } ) − f ( X ) f(Y)-f(X) \leq \sum_{v \in Y \backslash X} f(X \cup\{v\})-f(X) f(Y)−f(X)≤v∈Y\X∑f(X∪{
v})−f(X)
or equivalently, for any X , Y ⊆ V X, Y \subseteq V X,Y⊆V
f ( X ) + f ( Y ) ≥ f ( X ∩ Y ) + f ( X ∪ Y ) f(X)+f(Y) \geq f(X \cap Y)+f(X \cup Y) f(X)+f(Y)≥f(X∩Y)+f(X∪Y)
子模比（submodularity）
α f = min X ⊆ Y , v ∉ Y f ( X ∪ { v } ) − f ( X ) f ( Y ∪ { v } ) − f ( Y ) \alpha_{f}=\min _{X \subseteq Y, v \notin Y} \frac{f(X \cup\{v\})-f(X)}{f(Y \cup\{v\})-f(Y)} αf=X⊆Y,v∈
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