扩展欧几里得算法

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本文通过实例讲解了如何使用扩展欧几里得算法求解特定类型的线性方程，并提供了一种方法来找到使给定表达式成为整数的最小k值。

返回 $gcd（a,b）$ ,并计算方程： $ax+by=gcd(a,b)$ 的一个解

#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
int e_gcd(int a, int b, int * x, int *y) {
    if (b == 0) {
        *x = 1;
        *y = 0;
        return a;
    }
    int ans = e_gcd(b, a%b, x, y);
    int temp = *x;
    *x = *y;
    *y = temp - a / b*(*y);
    return ans;
}
int main() {
    int a = 8, b = 3;
    int x, y;
    int result = e_gcd(a, b, &x,&y);
    printf("gcd(%d,%d)=%d,%d*a+%d*b=%d", a, b, result, x, y, result);
    return 0;
}

$int$ $a,b,m>0$ ,求使 $\frac{a+kb}{m}是整数的最小的k:$
想法：比如 $\frac{8+4k}{6}=t<=>6t-4k=8（*）$
$先求解6x-4y=gcd(6,4)=2的一组解（x_0,y_0），这是扩展欧几里得算法$
$两边乘以某个数，使得8出现在右边，这里乘以\frac{a}{gcd(m,k)}=\frac{8}{2},$
$等式变为6（4x_0）-4(4y_0)=8,我们这样主要为了得到（*）的一组解(4x_0,4y_0)而已$
然后就可以的到所有解：
设有两组解： $6x_1−4y_1=8$ , $6x_2−4y_2=8$ ，相减：

6 (x 1 - x 2) = 4 (y 1 - y 2)

$6(x_1-x_2)=4(y_1-y_2)$ ,发现了所有解的规律，

x = x 0 + m g c d ( m , b ) t

$x=x_0+\frac{m}{gcd(m,b)}t$

y = y 0 + b g c d ( m , b ) t

$y=y_0+\frac{b}{gcd(m,b)}t$ ,注意这里的y前面是负号，扩展欧几里得的负号是正的，选出需要的那个最小的y就不说了。

#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
int e_gcd(int a, int b, int * x, int *y) {
    if (b == 0) {
        *x = 1;
        *y = 0;
        return a;
    }
    int ans = e_gcd(b, a%b, x, y);
    int temp = *x;
    *x = *y;
    *y = temp - a / b*(*y);
    return ans;
}
int min_k(int a, int b, int m) {//求(a+kb)/m是整数中最小的k
    int x = 0, y = 0;
    int k1 = e_gcd(m, b, &x, &y);
    if (a%k1 != 0) printf("无解\n"); exit(0);
    y *= a / k1;//这是一个特解
    y = -(((y%(m/k1))-(m/k1))%(m/k1));
    return y;
}
int main() {
    int ress=min_k(6, 4, 5);
    printf("%d\n", ress);
}