辗转相除法的时间复杂度

以下程序是用辗转相除法来计算两个非负数之间的最大公约数：

long long gcd(long long x, long long y) {
    if (y == 0)
        return x;
    else
        return gcd(y, x % y);
}

 我们假设x,y中最大的那个数的长度为n，x>y，基本运算时间复杂度为O(1)，那么该程序的时间复杂度为（ ）

求最大公约数的最常用的算法是欧几里得算法,也称为辗转相除法.
问题定义为求i和j的最大公约数gcd(i,j),其中i和j是整数,不妨设i>j.
算法可以递归的表示:
1.如果j能整除i,那么gcd(i,j)=j;
2.j不能整除i,令r=i%j,那么gcd(i,j)=gcd(j,r).
使用C语言实现:

int gcd(int i, int j)
{
    int r = i % j;
    return r == 0 ? j : gcd(j, r);
}

关键是要证明步骤2.正确性分析:
算法的步骤1,显然成立(最大公约数定义).

设d是i和j的最大公约数,
那么i=md,j=nd,m和n互质(否则d不是最大公约数).
由r=i%j可以得到i=kj+r,k=⌊m/n⌋,k≥1(我们前面假设过i>j).
把i=md,j=nd代入得到
md=knd+r
那么
r=(m-kn)d
m-kn和m也是互质的.
所以得到d是j和r的最大公约数.

时间复杂度分析:
逆着看该算法,最后的余数是0,倒数第二次余数是d,倒数第三次是kd,k>1…
由于组成了一个数列,{0,d,kd,nkd+d,…}
数列的n项加上n+1项,比n+2项要小,所以比斐波纳契数列增长的要快.
我们已知斐波纳契数列增长速度是指数,那么待分析的数列也是指数增长.
设欧几里得算法需要k次,那么j=O(2^k),则k=O(lg j).

所以欧几里得算法求最大公约数的时间复杂度是对数量级的,速度非常快.

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